Desigualdade das médias

Predefinição:Sem fontes A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica.

Mais precisamente falando, seja $\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$ um conjunto não vazio de números reais positivos então:

$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\ge \sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}\ge \frac{n}{\sum _{i=1}^n\left(\frac{1}{x_i}\right)}$

onde $\sum _{i=1}^n{x}_i=x_1+x_2+\dots +x_n$, veja somatório.

e $\prod _{i=1}^n{x}_i=x_1\cdot x_2\cdots x_n$, veja produtório.

Demonstração do caso n=2

Queremos mostrar que:

$\frac{x_1+x_2}{2}\ge \sqrt{x_1\cdot x_2}\ge \frac{2}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}$

Como $x_1$ e $x_2$ são reais, temos:

$(x_1-x_2{)}^2\ge 0$

Expandindo, temos:

$x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2\ge 0$

Somando $4x_1{x}_2$, obtemos:

$x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\ge 4x_1{x}_2$

Assim:

$(x_1+x_2{)}^2\ge 4x_1{x}_2$

Assumindo como sendo números positivos, podemos tomar a raiz quadrada e dividir por 2:

$\frac{x_1+x_2}{2}\ge \sqrt{x_1{x}_2}$

A primeira desigualdade segue. Para mostrar a segunda, escreva esta última como:

$\frac{2}{x_1+x_2}\le \frac{1}{\sqrt{x_1{x}_2}}$

Multiplique ambos os lados por :$x_1{x}_2$:

$\frac{2x_1{x}_2}{x_1+x_2}\le \sqrt{x_1{x}_2}$

E observe que esta é justamente a desigualdade que procuramos, pois:

$\frac{2x_1{x}_2}{x_1+x_2}=\frac{2}{\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}}=\frac{2}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}$

E o resultado segue.

Demonstração no caso $n=2^k$

Queremos a igualdade para $n=2^k$, com k inteiro positivo.

Procederemos por indução em k: O caso k=1, já foi demonstrado.

Suponha então que a desigualdade é valida para um certo k positivo, escreva para $n=2^k$:

$\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^{2n}{x}_i=\frac{1}{2n}[\sum _{i=1}^n{x}_i+\sum _{i=n+1}^{2n}{x}_i]$

Aplique a desigualdade da média com dois elementos:

$\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^{2n}{x}_i\ge \sqrt{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\cdot \left(\sum _{i=n+1}^{2n}{x}_i\right)}$

Agora, aplique a desigualdade para n elementos em cada um dos termos:

$\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^{2n}{x}_i\ge \sqrt{\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}\cdot \sqrt[n]{\prod _{i=n+1}^{2n}{x}_i}}$

E assim, conclua:

$\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^{2n}{x}_i\ge \sqrt[2n]{\prod _{i=1}^{2n}{x}_i}$

E a primeira desigualdade segue pois $2n=2\cdot 2^k=2^{k+1}$

Usemos o mesmo procedimento para demonstrar a segunda desigualdade:

$\sqrt[2n]{\prod _{i=1}^{2n}{x}_i}=\sqrt{\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}\cdot \sqrt[n]{\prod _{i=n+1}^{2n}{x}_i}}$

$\sqrt[2n]{\prod _{i=1}^{2n}{x}_i}\ge \frac{2}{\frac{1}{\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}}+\frac{1}{\sqrt[n]{\prod _{i=n+1}^{2n}{x}_i}}}$

$\sqrt[2n]{\prod _{i=1}^{2n}{x}_i}\ge \frac{2n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}+\sum _{i=n+1}^{2n}\frac{1}{x_i}}$

$\sqrt[2n]{\prod _{i=1}^{2n}{x}_i}\ge \frac{2n}{\sum _{i=1}^{2n}\frac{1}{x_i}}$

E a segunda desigualdade segue.

Demonstração do caso geral

Completaremos a demonstração, mostrando que se a desigualdade for válida para n termos, então também é válida para n-1 termos.

Suponha, então, que a desigualdade é válida para um número inteiro n maior que 1, ou seja:

$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\ge \sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}\ge \frac{n}{\sum _{i=1}^n\left(\frac{1}{x_i}\right)}$

Escreva:

• $p=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i$
• $q=\sqrt[n-1]{\prod _{i=1}^{n-1}{x}_i}$
• $r=\frac{n-1}{\sum _{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{x_i}\right)}$

Queremos mostrar que $p\ge q\ge r$

Substitua $x_n=q$

$\frac{1}{n}(\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i+q)\ge \sqrt[n]{q\prod _{i=1}^{n-1}{x}_i}\ge \frac{n}{\sum _{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{x_i}\right)+\frac{1}{q}}$

Observe que:

$\sqrt[n]{q\prod _{i=1}^{n-1}{x}_i}=\sqrt[n]{q{q}^{n-1}}=q$

Assim temos, da primeira desigualdade:

$\frac{1}{n}(\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i+q)\ge q$

Rearranjando, temos:

$p=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i\ge q$

A segunda desigualdade diz:

$q\ge \frac{n}{\sum _{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{x_i}\right)+\frac{1}{q}}$

O que equivale a:

$\sum _{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{x_i}\right)+\frac{1}{q}\ge \frac{n}{q}$

ou:

$\sum _{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{x_i}\right)\ge \frac{n-1}{q}$

Equivalente a:

$q\ge \frac{n-1}{\sum _{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{x_i}\right)}=r$

O que completa a demonstração.

Desigualdade entre as Médias Quadrática e Aritmética

Se, na desigualdade de Cauchy fizermos $b_1=b_2=b_3=...=b_n=1$, ela assume a forma:

$a_1+a_2+...+a_n$≤$\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+...+{a_n}^2}\sqrt{n}$

Agora é só dividir os membros da desigualdade acima por $n$.

Finalmente:

$\sqrt{\frac{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+...+{a_n}^2}{n}}$≥$\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}$

Ver também

• Desigualdade