Topologia da ordem

A topologia da ordem é a topologia associada a uma relação de ordem em um conjunto.

Definição

Seja $(X,<)$ um conjunto ordenado, em que a relação de ordem não precisa ser de ordem total. Podemos associar 3 topologias a essa relação de ordem parcial, definidas por suas sub-bases:

• A topologia da ordem à esquerda, em que a sub-base é formada pelos conjuntos da forma $(a,\mathrm{\infty })=\{x\in X|a<x\}$.
• A topologia da ordem à direita, em que a sub-base é formada pelos conjuntos da forma $(-\mathrm{\infty },b)=\{x\in X|x<b\}$.
• A topologia da ordem, em que a sub-base é formada pelos conjuntos $(a,\mathrm{\infty })=\{x\in X|a<x\}$ e $(-\mathrm{\infty },b)=\{x\in X|x<b\}$.

Ordem Total

Se a relação é de ordem total, então a topologia da ordem é Hausdorff.

Prova: sejam $a,c\in X,a\le c$. Considere os abertos $a\in (-\mathrm{\infty },c)$ e $c\in (a,\mathrm{\infty })$. Se sua interseção for vazia, então provamos que a e c estão separados por abertos. Caso contrário, existe $b\in (a,\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },c)$, portanto $a<b<c$. Então separamos a e c pelos abertos disjuntos $a\in (-\mathrm{\infty },b)$ e $c\in (b,\mathrm{\infty })$.

Como contraexemplo, temos o conjunto {2, 3, 6} ordenado pela relação $a<b$ quando a for um divisor próprio de b. A sub-base da topologia da ordem contém os conjuntos $(2,\mathrm{\infty })=(3,\mathrm{\infty })=\{6\}$, $(6,\mathrm{\infty })=\varnothing$, $(-\mathrm{\infty },2)=(-\mathrm{\infty },3)=\varnothing$ e $(-\mathrm{\infty },6)=\{2,3\}$, portanto a topologia da ordem é $\tau =\{\varnothing ,\{2,3\},\{6\},\{2,3,6\}\}$ que não é Hausdorff.