Conjuntos disjuntos

A e B são dois conjuntos disjuntos.

Em matemática, dois conjuntos são ditos disjuntos se não tiverem nenhum elemento em comum. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos se sua interseção for o conjunto vazio.

Exemplos

• O conjuntos: $\{1,2,3\}$ e $\{6,7\}$ são disjuntos pois não possuem elementos em comum.
• O conjunto dos números pares e o conjuntos dos números impares são disjuntos, pois não existe um número que seja par e impar ao mesmo tempo.
• O conjunto dos números primos e o conjunto dos números pares não são disjuntos pois o número 2 é par e primo ao mesmo tempo.

Definição

Dois conjuntos $A$ e $B$ são ditos disjuntos se:

$A\cap B=\mathrm{\varnothing }$

Uma família de conjuntos é dita disjunta dois a dois ou mutuamente disjunta se dados dois conjuntos quaisquer da família, eles são disjuntos. Mais formalmente falando, seja $A_{\lambda }$ uma família de conjuntos disjuntos indexados pelo índice $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$, então:

$A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }i,j\in \mathrm{\Lambda },i\ne j$

Observe cuidadosamente que $\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }=\mathrm{\varnothing }$ não implica que a família seja disjunta dois a dois. Um contraexemplo seria: $\{\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}$.

Partição

Uma partição é uma família $\{A_{\lambda },\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$ de subconjuntos disjuntos de um espaço $X$ cuja união é todo o espaço:

• $\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_i=X.$
• $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }\mathrm{\forall }i,j\in \mathrm{\Lambda },i\ne j.$

Partições aparecem naturalmente como classes de equivalência em uma relação de equivalência.