Inverso multiplicativo

Ficheiro:Hyperbola one over x.svg

A função real de variável real f(x)=1/x asoccia cada x não-nulo com seu inverso multiplicativo.

Em matemática, o inverso multiplicativo de um número x é o número y que, multiplicado por x, gera a identidade multiplicativa. Note-se que estamos falando de qualquer operação binária que tenha o nome de multiplicação, que não precisa ser comutativa, mas deve ter elemento neutro.

No caso de uma operação não comutativa, o inverso deve ser tal que $x\times y=y\times x=1$.

Quando este inverso é único (por exemplo, o inverso multiplicativo de um número real), ele é representado por:

$1÷y=\frac{1}{y}=y^{(-1)}=\sqrt[(-1)]{y}$

ou

$m^w=\sqrt[\frac{1}{w}]{m}$

ou

$a^{\frac{1}{c}}=\sqrt[c]{a}$

O termo "recíproco" era de uso comum pelo menos até a terceira edição de "Encyclopædia Britannica" (1797) para descrever dois números cujo produto é 1; As quantidades geométricas em proporção inversa são descritas como reciprocall em uma tradução 1570 de Euclid Elements .

Unicidade

As condições necessárias para que se possa definir o inverso multiplicativo são um conjunto S, uma operação binária * definida como uma função $\star :S\times S\to S$ e a existência de um elemento neutro 1 desta operação, definido de forma que $\mathrm{\forall }x\in S,1\times x=x\times 1=x$.

Estas são as definições de um grupóide com elemento neutro.

Por exemplo, para a operação binária × definida no conjunto {1, a, b, c} de forma que 1 seja o elemento neutro, a × a = 1, a × b = 1, a × c = a, b × a = 1, b × b = b, b × c = b, c × a = c, c × b = 1 e c × c = c, temos que a é um elemento inverso de a, b também é um elemento inverso de a e a é um elemento inverso de b, e não existe elemento inverso de c. Note-se que no caso geral, o elemento inverso não precisa existir nem ser único (devia se chamar de um elemento inverso, em vez de o elemento inverso).

Quando a operação é associativa (ou seja, (S, *) é um monóide), pode-se mostrar que o inverso, se existe, é único:

Seja x um elemento de S, e y e z elementos inversos de x. Então, pela associatividade:

$(z\times x)\times y=z\times (x\times y)$

Portanto, pelas definições de elemento inverso e de elemento neutro:

$1\times y=z\times 1$

$y=z$

Inverso multiplicativo de alguns números

número	valor inverso
0	$\mathrm{\infty }$
1	$1$
2	$0,5$
3	$0,\bar{3}$
4	$0,25$
5	$0,2$
6	$0,1\bar{6}$
7	$0,\overline{142857}$
8	$0,125$
9	$0,\bar{1}$
10	$0,1$
11	$0,\overline{09}$
12	$0,08\bar{3}$
13	$0,\overline{076923}$
14	$0,0\overline{714285}$
15	$0,0\bar{6}$
16	$0,0625$
17	$0,\overline{0588235294117647}$
18	$0,0\bar{5}$
19	$0,\overline{052631578947368421}$
20	$0,05$

Em forma de divisão

O resultado de $A÷B$ é o inverso do resultado de $B÷A$. Ou seja, para descobrir o valor inverso de um número que é resultado de uma divisão, é só trocar o dividendo e o divisor de lugar. Exemplos:

• Se $16÷4=4$, para descobrir o valor inverso de 4, é só trocar o dividendo e o divisor de lugar, que vai ser $4÷16=0,25$. Portanto, 0,25 é o valor inverso de 4.
• Se $15÷3=5$, para descobrir o valor inverso de 5, é só trocar o dividendo e o divisor de lugar, que vai ser $3÷15=0,2$. Portanto, 0,2 é o valor inverso de 5.
• Se $72÷9=8$, para descobrir o valor inverso de 8, é só trocar o dividendo e o divisor de lugar, que vai ser $9÷72=0,125$. Portanto, 0,125 é o valor inverso de 8.
• Se $100÷10=10$, para descobrir o valor inverso de 10, é só trocar o dividendo e o divisor de lugar, que vai ser $10÷100=0,1$. Portanto, 0,1 é o valor inverso de 10.

Em forma de potenciação

O resultado de $A^B$ é o inverso do resultado de $A^{(-B)}$. Ou seja, para descobrir o valor inverso de um número que é resultado de uma potenciação, é só conservar a base e trocar o expoente de positivo para negativo, ou de negativo para positivo. Exemplos:

• Se $2^2=4$, para descobrir o valor inverso de 4, é só trocar o expoente positivo para negativo, que vai ser $2^{(-2)}=0,25$. Portanto, 0,25 é o valor inverso de 4.
• Se $3^3=27$, para descobrir o valor inverso de 27, é só trocar o expoente positivo para negativo, que vai ser $3^{(-3)}=0,\overline{037}$. Portanto, a dízima periódica $0,\overline{037}$ é o valor inverso de 27.
• Se $5^5=3125$, para descobrir o valor inverso de 3125, é só trocar o expoente positivo para negativo, que vai ser $5^{(-5)}=0,00032$. Portanto, 0,00032 é o valor inverso de 3125.
• Se $10^6=1000000$, para descobrir o valor inverso de 1000000, é só trocar o expoente positivo para negativo, que vai ser $10^{(-6)}=0,000001$. Portanto, 0,000001 é o valor inverso de 1000000.

Em forma de radiciação

O resultado de $\sqrt[Q]{W}$ é o inverso do resultado de $\sqrt[(-Q)]{W}$. Ou seja, para descobrir o valor inverso de um número que é resultado de uma potenciação, é só conservar o radicando e trocar o índice de positivo para negativo, ou de negativo para positivo. Exemplos:

• Se $\sqrt[12]{8916100448256}=12$, para descobrir o valor inverso de 12, é só índice o expoente positivo para negativo, que vai ser $\sqrt[(-12)]{8916100448256}=0,08\bar{3}$. Portanto, a dízima periódica $0,08\bar{3}$ é o valor inverso de 12.
• Se $\sqrt[8]{16777216}=8$, para descobrir o valor inverso de 8, é só trocar o índice positivo para negativo, que vai ser $\sqrt[(-8)]{16777216}=0,125$. Portanto, 0,125 é o valor inverso de 8.
• Se $\sqrt[7]{823543}=7$, para descobrir o valor inverso de 7, é só trocar o índice positivo para negativo, que vai ser $\sqrt[(-7)]{823543}=0,\overline{142857}$. Portanto, a dízima periódica $0,\overline{142857}$ é o valor inverso de 7.
• Se $\sqrt[5]{3125}=5$, para descobrir o valor inverso de 5, é só trocar o índice positivo para negativo, que vai ser $\sqrt[(-5)]{3125}=0,2$. Portanto, 0,2 é o valor inverso de 5.