Identidade de Sommerfeld

A Identidade de Sommerfeld é usada na teoria de propagação de ondas:

$\frac{e^{ikR}}{R}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{I}_0(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}\frac{\lambda d\lambda }{\mu }$

no qual

$\mu =\sqrt{{\lambda }^2-k^2}$

no qual considera-se a parte real positiva, para assegurar a convergência da integral no limite $z\to \pm \mathrm{\infty }$.

A função $I_0$ é a Função de Bessel.

Forma alternativa:

$\frac{e^{i{k}_{0}r}}{r}=i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{k}_{\rho }\frac{k_{\rho }}{k_z}{J}_0(k_{\rho }\rho )e^{i{k}_z\left|z\right|}$

Onde

$k_z=\sqrt{(k_0-k_{\rho })}$

A interpretação física é de uma onda esférica decomposta pela soma de ondas cilíndricas na direção $\rho$, multiplicada por uma onda plana na direção $z$. A soma deve ser realizada para todos os números de onda $k_{\rho }$.