Grupo ordenado

Predefinição:Sem fontes Em matemática, um grupo ordenado é um grupo (G,*) com uma relação de ordem, de forma que a operação binária é compatível com a relação de ordem.

Esta compatibilidade é dada por:

$\mathrm{\forall }a,b,g\in G,(a\le b⟹(ag\le bg\wedge ga\le gb))$

Para ser mais preciso, caso a relação de ordem seja uma relação de ordem total, temos um grupo totalmente ordenado, caso seja uma relação de ordem parcial, temos um grupo parcialmente ordenado.

Elementos positivos

Nota-se que, das propriedades, se e é o elemento neutro do grupo, então $a\le b$ implica que $e\le a^{-1}b$ e $e\le b{a}^{-1}$. Por outro lado, se $e\le a$ e $e\le b$, então $a\le ab$ e, por transitividade, $e\le ab$. Ou seja, o subconjunto dos elementos positivos (eventualmente chamados de não-negativos, para deixar claro que inclui o elemento neutro) $G^{+}=\{x:e\le x\}$ é fechado com relação à operação binária do grupo.

Isto sugere uma definição alternativa de grupo (parcialmente) ordenado: seja H um subconjunto do grupo, com as seguintes propriedades:

• $e\in H$
• $a\in H,b\in H⟹ab\in H$
• $a\in H,x\in G⟹x^{-1}ax\in H$
• $a\in H\wedge a^{-1}\in H⟹a=e$

Então a relação definida por $a\le b⟺a^{-1}b\in H$ é uma relação de ordem (parcial) que torna G um grupo ordenado.