Transformada de Haar

Wavelet de Haar.

A Transformada de Haar é um transformada matemática discreta usada no processamento e análise de sinais, na compressão de dados e em outras aplicações de engenharia e ciência da computação. Ela foi proposta em 1909 pelo matemático húngaro Alfred Haar. A transformada de Haar é um caso particular de transformada discreta de wavelet, onde o wavelet é um pulso quadrado definido por:

$\psi (t)=\{\begin{array}{cc}1,& 0\le t<0.5\\ -1,& 0.5\le t<1.\\ 0,& \text{para outros valores de }t\end{array}$

Na figura vemos ilustrada a wavelet de Haar. Apesar de ter sido proposta muito antes do termo wavelet ser cunhado, a wavelet de Haar é considerada como um caso particular das wavelets de Daubechies, conhecida por isso como wavelet de Daubechies D2.

A transformada de Haar pode ser usada para representar um grande número de funções $f(t)$ como sendo o somatório:

$f(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_k\varphi (t-k)+\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_{j,k}\psi (2^{j}t-k),$ onde $\varphi (t)$ é a função de escala definida por $\varphi (t)=\{\begin{array}{cc}1,& 0\le t<1\\ 0,& \text{para outros valores de }t,\end{array}$ e $c_k$ e $d_{j,k}$ são parâmetros a serem calculados.

Por exemplo, a função degrau definida por:

$f(t)=\{\begin{array}{cc}5,& 0\le t<0.5\\ 3,& 0.5\le t<1,\end{array}$

pode ser representada como $f(t)=4\varphi (t)+\psi (t)$. O seja os parâmetros $c_0=4$ e $d_{0,0}=1$, e $c_n=0$ e $d_{n,m}=0$ para $n\ne 0,m\ne 0$. O vetor $(4,1)$ equivale a transformada discreta de Haar da função f(t), que pode ser representada também na forma vetorial como $(5,3)$.

Representação matricial

Como vimos acima, a transformada de Haar em sua forma discreta pode ser expressa como uma multiplicação matricial. No exemplo citado acima temos:

$(5,3)A_2=(4,1)$ dando a matriz $A_2$ como sendo:

$A_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

E assim a transformada inversa de Haar se torna:

$(4,1)A_2^{-1}=(5,3)$

Entretanto a matriz $A_2^{-1}$ é difícil de ser calculada, mas sabemos que se a matriz $A_2$ for ortonormal sua inversa é igual a sua transposta. Assim podemos utilizar a matriz:

$A_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

para a a transformada de Haar discreta, sendo sua inversa $A_2^{-1}=A_2^T$.

Assim, a transformada discreta de Haar em sua forma matricial pode ser expressa por uma matriz $A_N$ de tamanho $N\times N$ onde os elementos $A_{N_{i,j}}$ são definidos como

$A_{N_{i,j}}=h_{i-1}\left(\frac{j-1}{N}\right)$ onde

$h_0(x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{h}_{00}(x)=\frac{1}{\sqrt{N}},\text{ para }0\le x\le 1,$

$h_k(x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{h}_{p,q}=\frac{1}{\sqrt{N}}\{\begin{array}{cc}{2}^{p/2},& \frac{q-1}{2^p}\le x<\frac{q-1/2}{2^p},\\ -2^{p/2},& \frac{q-1/2}{2^p}\le x<\frac{q}{2^p},\\ 0,& \text{para outros valores de }x\in [0,1].\end{array}$

e $k=2^p+q-1,$ onde $N=2^n$, $0\le p\le n-1,q=0\text{ ou }1$ para $p=0$, e $1\le q\le 2^p$ para $p\ne 0$

Assim, a matriz $A_2$ do nosso exemplo passa a ser:

$A_2=\left(\begin{array}{cc}{h}_0(0/2)& h_0(1/2)\\ h_0(1/2)& h_1(1/2)\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

Transformada rápida de Haar

Na prática a transformada de Haar consiste em calcular a soma e a diferença entre os elementos de um vetor dois a dois. Assim, definimos a transformada rápida de Haar de um vetor $S_n=(s_1,s_2,...,s_n)$ como os dois vetores $M_{n/2}=(m_1,m_2,...,m_{n/2})=(\frac{s_1+s_2}{\sqrt{2}},\frac{s_3+s_4}{\sqrt{2}},...,\frac{s_{n-1}+s_n}{\sqrt{2}})$ e $D_{n/2}=(d_1,d_2,...,d_{n/2})=(\frac{s_1-s_2}{\sqrt{2}},\frac{s_3-s_4}{\sqrt{2}},...,\frac{s_{n-1}-s_n}{\sqrt{2}})$.

A transformada inversa simplesmente recalcula os valores originais a partir da média e das diferenças. A transformada inversa recebe então os vetores $M_{n/2}$ e $D_{n/2}$ devolve um vetor $S{\text{'}}_n=S_n$:

$S{\text{'}}_n=(m_1+d_1,m_1-d_1,m_2+d_2,m_2-d_2,...,m_{n/2}+d_{n/2},m_{n/2}-d_{n/2}).$

Bibliografia

• Predefinição:En Predefinição:Citar livro

Ver também

• Wavelet
• Wavelet de Daubechies
• Transformada Discreta de Wavelet