Equivalência lógica

Na lógica, afirmações $p$ e $q$ são logicamente equivalentes se tiverem o mesmo conteúdo lógico. Isto é, se elas tiverem o mesmo valor de verdade em todos os modelos. A equivalência lógica de $p$ e $q$ às vezes é expressa como $p\equiv q$, $\mathsf{\text{E}}pq$, ou $p⟺q$. No entanto, esses símbolos também são usados para equivalência material. A interpretação adequada depende do contexto. A equivalência lógica é diferente da equivalência material, embora os dois conceitos estejam intimamente relacionados.

Equivalências lógicas

Equivalência	Nome
$p\wedge \mathrm{\top }\equiv p$ $p\vee \mathrm{\perp }\equiv p$	Identidade
$p\vee \mathrm{\top }\equiv \mathrm{\top }$ $p\wedge \mathrm{\perp }\equiv \mathrm{\perp }$	Dominação
$p\vee p\equiv p$ $p\wedge p\equiv p$	Idempotência
$\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }p)\equiv p$	Dupla negação
$p\vee q\equiv q\vee p$ $p\wedge q\equiv q\wedge p$	Comutatividade
$(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$ $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$	Associatividade
$p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$ $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$	Propriedade distributiva
$\mathrm{\neg }(p\wedge q)\equiv \mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q$ $\mathrm{\neg }(p\vee q)\equiv \mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q$	Leis de De Morgan
$p\vee (p\wedge q)\equiv p$ $p\wedge (p\vee q)\equiv p$	Absorção
$p\vee \mathrm{\neg }p\equiv \mathrm{\top }$ $p\wedge \mathrm{\neg }p\equiv \mathrm{\perp }$	Negação

Equivalências lógicas envolvendo afirmações condicionais:

1. $p⟹q\equiv \mathrm{\neg }p\vee q$
2. $p⟹q\equiv \mathrm{\neg }q⟹\mathrm{\neg }p$
3. $p\vee q\equiv \mathrm{\neg }p⟹q$
4. $p\wedge q\equiv \mathrm{\neg }(p⟹\mathrm{\neg }q)$
5. $\mathrm{\neg }(p⟹q)\equiv p\wedge \mathrm{\neg }q$
6. $(p⟹q)\wedge (p⟹r)\equiv p⟹(q\wedge r)$
7. $(p⟹q)\vee (p⟹r)\equiv p⟹(q\vee r)$ (Dilema simples)
8. $(p⟹q)\vee (r⟹s)\equiv r\vee s$ (Dilema complexo)
9. $(p⟹r)\wedge (\mathrm{\neg }p⟹r)\equiv r$ (Dilema especial)
10. $(p⟹r)\wedge (q⟹r)\equiv (p\vee q)⟹r$
11. $(p⟹r)\vee (q⟹r)\equiv (p\wedge q)⟹r$
12. $(p⟹q)\wedge (q⟹r)\equiv p⟹r$ (Silogismo hipotético)
13. $p⟹(q⟹r)\equiv (p\wedge q)⟹r$ (Importação)

Equivalências lógicas envolvendo bicondicionais:

1. $p⟺q\equiv (p⟹q)\wedge (q⟹p)$
2. $p⟺q\equiv \mathrm{\neg }p⟺\mathrm{\neg }q$
3. $p⟺q\equiv (p\wedge q)\vee (\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)$
4. $\mathrm{\neg }(p⟺q)\equiv p⟺\mathrm{\neg }q$

Exemplo

As afirmações a seguir são logicamente equivalentes:

1. Se Lúcia está na Dinamarca, então ela está na Europa. (Em símbolos, $d⟹e$.)
2. Se Lúcia não está na Europa, então ela não está na Dinamarca. (Em símbolos, $\mathrm{\neg }e⟹\mathrm{\neg }d$.)

Sintaticamente, (1) e (2) são deriváveis uns dos outros através das regras de contraposição e dupla negação. Semanticamente, (1) e (2) são verdadeiros exatamente nos mesmos modelos (interpretações, avaliações); ou seja, aqueles em que Lúcia está na Dinamarca é falsa ou Lúcia está na Europa é verdade.

(Observe que, neste exemplo, é assumida a lógica clássica. Algumas lógicas não clássicas não consideram (1) e (2) logicamente equivalentes.)

Relação com equivalência material

A equivalência lógica é diferente da equivalência material. Fórmulas $p$ e $q$ são logicamente equivalentes se e somente se a declaração de sua equivalência material ($p⟺q$) é uma tautologia.

A equivalência material de $p$ e $q$ (frequentemente escrita $p⟺q$) é em si uma outra afirmação na mesma linguagem de objeto como $p$ e $q$. Esta afirmação expressa a ideia "'$p$ se e somente se $q$'". Em particular, o valor de verdade de $p⟺q$ pode mudar de um modelo para outro.

A afirmação de que duas fórmulas são logicamente equivalentes é uma declaração na metalinguagem, expressando uma relação entre duas afirmações $p$ e $q$. As afirmações são logicamente equivalentes se, em cada modelo, elas tiverem o mesmo valor de verdade.

Ver também

• Condições necessárias e suficientes
• Se e somente se
• Relação de equivalência

Referências

• Irving M. Copi, Carl Cohen, e Kenneth McMahon, Introduction to Logic, 14ª edição, Pearson New International Edition, 2014.
• Elliot Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, segunda edição, 1979.
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