Completude (lógica)

Em lógica matemática e na metalógica, um sistema formal é chamado completo com respeito a uma propriedade específica se toda fórmula tendo a propriedade pode ser obtida usando esse sistema, isto é, é um de seus teoremas; caso contrário, o sistema é dito incompleto. O termo "completo" também é usado sem qualificação, com significados diferentes dependendo do contexto, geralmente se referindo à propriedade da validade semântica. Intuitivamente, um sistema é chamado de completo nesse sentido particular, se ele pode obter todas as fórmulas verdadeiras. Kurt Gödel, Leon Henkin, e Emil Leon Post publicaram provas de completude.

Outras propriedades relacionadas a completude

A propriedade recíproca da completude é chamada corretude: um sistema é correto com respeito a uma propriedade (principalmente validade semântica) se cada um dos seus teoremas possuem essa propriedade.

Formas da completude

Completude expressiva

Uma linguagem formal é expressivamente completa se pode expressar o objeto que é destinado.

Completude funcional

Um conjunto de conectivos lógicos associados com o sistema formal é funcionalmente completo se pode expressar todas as funções proposicionais.

Completude semântica

Completude semântica é a recíproca da corretude para sistemas formais. Um sistema formal é completo com respeito a tautologia quando todas suas tautologias são teoremas, enquanto que um sistema formal é correto quando todos os teoremas são tautologias (isto é, eles são fórmulas semanticamente válidas: fórmulas que são verdadeiras em qualquer interpretação da linguagem do sistema que é consistente com as regras do sistema. Isto é:

${\models }_{𝒮}\phi \to {⊢}_{𝒮}\phi .$

Completude forte

Um sistema formal S é fortemente completo ou completo no sentido forte se para todo conjunto de premissas Γ, qualquer fórmula que semanticamente segue de Γ é obtida de Γ. Isto é:

$\mathrm{\Gamma }{\models }_{𝒮}\phi \to \mathrm{\Gamma }{⊢}_{𝒮}\phi .$

Refutação da completude

Um sistema formal S é refutação-completo se for possível obter um falso de todo conjunto de fórmulas insatisfatível. Isto é,

$\mathrm{\Gamma }{\models }_{𝒮}\mathrm{\perp }\to \mathrm{\Gamma }{⊢}_{𝒮}\mathrm{\perp }.$

Todo sistema fortemente completo é também refutação-completo. Indutivamente, completude forte significa que, dado um conjunto de fórmulas $\mathrm{\Gamma }$, é possível computar toda consequência semântica $\phi$ de $\mathrm{\Gamma }$, enquanto a refutação-completude significa que, dado um conjunto de fórmulas $\mathrm{\Gamma }$ e a fórmula $\phi$, é possível conferir se $\phi$ é um consequência semântica de $\mathrm{\Gamma }$.

Exemplos do sistema de refutação completude inclui: resolução SLD nas cláusulas de Horn, superposição em cláusulas equacionais da lógica de primeira ordem, Princípio da Resolução de Robinson em conjunto de cláusulas. Esse último não é fortemente completo: por exemplo, $\{a\}\models a\vee b$ se verifica mesmo no subconjunto proposicional da lógica de primeira ordem, mas $a\vee b$ não pode ser obtido de $\{a\}$ pela resolução. Todavia, $\{a,\mathrm{\neg }(a\vee b)\}⊢\mathrm{\perp }$ pode ser obtido.

Completude sintática

Um sistema formal S é sintaticamente completo ou dedutivamente completo ou maximamente completo se para toda sentença (fórmula fechada) φ da linguagem do sistema, φ ou ¬φ é um teorema de S. Isso também é chamado de negação-completude. Em outro sentido, um sistema formal é sintaticamente completo se e somente se não é possível adicionar uma sentença não demonstrável sem introduzir uma inconsistência. A lógica proposicional verofuncional e a lógica de predicados de primeira ordem são semanticamente completas, mas não sintaticamente completas (por exemplo, a declaração da lógica proposicional consistindo de uma única variável proposicional A, não é um teorema, e nem sua negação, mas essas não são tautologia). O Teorema da incompletude de Gödel mostra que qualquer sistema recursivo que é suficientemente poderoso, como o axioma de Peano, não pode ser consistente e sintaticamente completo ao mesmo tempo.