Tensor de energia-momento

O tensor de energia-momento, também chamado tensor energia-impulso é uma quantidade tensorial em relatividade. Descreve o fluxo de energia e momento e satisfaz a equação de continuidade:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$

A grandeza

$P^{\mu }=\frac{1}{c}\underset{V}{\int }{T}^{0\mu }{d}^3𝐱$

sobre uma seção de tipo espaço dá o quadrivetor energia-momento ou quadrimomento. Este tensor é a corrente de Noether associada às translações no espaço-tempo. Na relatividade geral, esta grandeza atua como a fonte do curvatura do espaço-tempo, e é a densidade de corrente associada às transformações de gauge (neste caso transformações de coordenadas) pelo teorema de Noether. Ainda que, no espaço-tempo curvado, a integral de tipo espaço depende da seção de tipo espaço, em geral. Não há de fato maneira de definir um vetor global de energia-momento num espaço-tempo curvado em geral.

Dedução do tensor a partir de um fluido relativístico

A gravitação Newtoniana pode ser descrita por meio de um campo escalar, com a chamada equação de Poisson:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=-4\pi G\rho$, onde $\rho$ é a densidade.

Na concepção Newtoniana, o estado de movimento da fonte (a massa) não afeta os cálculos porque a velocidade de interação é suposta instantânea. Para modelar essa massa na teoria da relatividade, vamos considerá-la como um fluido em movimento, com densidade variável. Cada partícula de fluido pode estar sujeita a forças da vizinhança. Aplicando a segunda lei de Newton:

$f_V^i=\rho a^i=\rho \frac{d{v}^i}{dt}$

A velocidade de um fluido é em geral uma função não só do tempo, mas também das coordenadas espaciais. Analisando o lado direito da equação:

$d{v}^i=\frac{\partial v^i}{\partial t}dt+\frac{\partial v^i}{\partial x}dx+\frac{\partial v^i}{\partial y}dy+\frac{\partial v^i}{\partial z}dz$

Resultando em:

$\frac{d{v}^i}{dt}=\frac{\partial v^i}{\partial t}+\frac{\partial v^i}{\partial x^j}{v}^j$

Para o lado esquerdo, vamos considerar que um pequeno cubo de fluido é sujeito apenas às forças do fluido em suas fronteiras, as tensões multiplicadas pelas áreas. Para a coordenada x:

$\mathrm{\Delta }{f}_x=-\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xx}\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z-\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xy}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }z-\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xz}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y$

Onde:

$\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xu}={\sigma }_{xu}(u+\mathrm{\Delta }u)-{\sigma }_{xu}(u)$

O que, após dividir pelo volume $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$, e no limite em que estes deltas tendem a zero, resulta em:

$f_V^i=-\frac{\partial {\sigma }^{ij}}{\partial x^j}$

Igualando as duas expressões para a força por unidade de volume:

$\rho (\frac{\partial v^i}{\partial t}+\frac{\partial v^i}{\partial x^j}{v}^j)+\frac{\partial {\sigma }^{ij}}{\partial x^j}=0$

Modifica-se agora essa expressão, com o uso da derivada de produto:

$\frac{\partial (\rho v^i)}{\partial t}=\rho \frac{\partial v^i}{\partial t}+v^i\frac{\partial \rho }{\partial t}$

E da equação da continuidade:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial (\rho v^j)}{\partial x^j}=0$

Resultando em:

$\frac{\partial (\rho v^i)}{\partial t}+v^i\frac{\partial (\rho v^j)}{\partial x^j}+\rho \frac{\partial v^i}{\partial x^j}{v}^j+\frac{\partial {\sigma }^{ij}}{\partial x^j}=0$

O que pode ser condensado, usando novamente as propriedades da derivada de produto, obtendo-se as equações de Euler:

$\frac{\partial (\rho v^i)}{\partial t}+\frac{\partial [(\rho v^j)v^i+{\sigma }^{ij}]}{\partial x^j}=0$

Até agora o fluido foi tratado de forma não relativística. Num tratamento relativístico o fluido tem uma 4-velocidade:

$u=(u^0,u^1,u^2,u^3)=\gamma (c,v_x,v_y,v_z)$,

Introduzindo a variável $x^0=ct$:

$\frac{\partial (\rho u^0{u}^i)}{\partial x^0}+\frac{\partial [\rho u^j{u}^i+{\sigma }^{ij}]}{\partial x^j}=0$

onde para baixas velocidades, $\gamma =1$, restaura-se as equações de Euler.

Acrescenta-se uma quarta equação, a própria equação da continuidade, agora em sua versão relativística:

$\frac{\partial (\rho u^0{u}^0)}{\partial x^0}+\frac{\partial \rho u^j{u}^0}{\partial x^j}=0$

Essas expressões sugerem um tensor $T^{\mu \nu }$ onde os termos com um dos índices zero são:

$T^{0\nu }=\rho u^0{u}^{\nu }$
$T^{\mu 0}=\rho u^{\mu }{u}^0$

E os demais termos, apenas com índices espaciais:

$T^{ij}=\rho u^j{u}^i+{\sigma }^{ij}$

De tal modo que as expressões possam ser sintetizadas numa única equação:

$\frac{\partial T^{\mu \nu }}{\partial \nu }=0$

No caso mais geral de espaços-tempo curvos, as derivadas parciais devem ser substituídas pelas derivadas covariantes:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$

$T^{\mu \nu }$ assim definido é o tensor de energia momento.

Tensores relacionados

A parte tridimensional do tensor energia-momento coincide com o tensor tensão da mecânica de meios contínuos.

Exemplos

• Fluido perfeito

$T_{\mu \nu }=(\rho +p)u_{\mu }{u}_{\nu }+p{g}_{\mu \nu }$

Ligações externas

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