Cofator (álgebra)

Em álgebra linear, cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento $a_{i,j}$ de uma matriz quadrada $A$ de ordem $n$ é o número $C_{i,j}$ tal que $C_{i,j}=(-1{)}^{i+j}{A}_{i,j},$ sendo $A_{i,j}$ o determinante da matriz obtida a partir da matriz original $A$ eliminando-se a linha e a coluna que contenham o elemento $a_{i,j}.$

A matriz dos cofatores $C$, matriz formada pelos respectivos cofatores dos elementos de uma matriz $A$, pode ser usada na determinação da matriz inversa $A^{-1}$ de $A$.

Exemplo

Se

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$

então o cofator do elemento $a_{2,2}$ (o número $5$) é dado por

$C_{2,2}=(-1{)}^{2+2}\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 7& 9\end{array}\right|=1\cdot (2\cdot 9-3\cdot 7)=-3$.

A matriz dos cofatores de $A$ é dada por

$C=\left(\begin{array}{ccc}{C}_{1,1}& C_{1,2}& C_{1,3}\\ C_{2,1}& C_{2,2}& C_{2,3}\\ C_{3,1}& C_{3,2}& C_{3,3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-3& 6& -3\\ 6& -3& -2\\ -3& 0& 2\end{array}\right)$.

Bibliografia

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