Desigualdades de Cauchy

Predefinição:Sem-fontes Em análise complexa, as desigualdades de Cauchy, nomeadas em honra a Augustin Louis Cauchy, enunciam-se do seguinte modo: se f for uma função analítica de uma variável complexa cujo domínio contenha, para algum c ∈ C e para algum r > 0, todos os números complexos z tais que |z − c| ≤ r, então, para cada inteiro não-negativo n,

$\frac{|f^{(n)}(c)|}{n!}⩽\frac{\underset{|z-c|=r}{\sup }|f(z)|}{r^n}\cdot$

Repare-se que o membro da esquerda da desigualdade refere-se somente ao valor da n-ésima derivada de f no ponto c, enquanto que para o da direita só se entram em conta com os valores de f na circunferência de centro c e raio r, da qual c não faz parte.

Demonstração

Esta desigualdade resulta da fórmula integral de Cauchy. Se se definir a função γ de [0,2π] em C por

$\gamma (t)=c+r{e}^{it},$

então

$\frac{f^{(n)}(c)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(z)}{(z-c{)}^{n+1}}dz,$

pelo que

$\begin{array}{cc}\frac{|f^{(n)}(c)|}{n!}& =\left|\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(z)}{(z-c{)}^{n+1}}dz\right|\\ & ⩽\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{2\pi r\underset{|z-c|=r}{\sup }|f(z)|}{r^{n+1}}\\ & =\frac{\underset{|z-c|=r}{\sup }|f(z)|}{r^n}\cdot \end{array}$