Soma de uma progressão aritmética

A descoberta

Conta-se que um professor de Matemática mandou aos alunos de sua turma que somassem de 1 a 100 como forma de castigo. O professor ficou surpreso quando um dos alunos, Carl Friedrich Gauss, havia feito a soma corretamente em pouco tempo de uma outra forma.

Eis a ideia de Gauss:

Soma de 1 a 100: $S=1+2+3+\dots +99+100$

A ordem não altera a soma: $S=100+99+98+\dots +2+1$

Soma-se de membro a membro as duas igualdades:

$S=1+2+3+\dots +99+100$

$S=100+99+98+\dots +2+1$

______________________

$S+S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+\dots +(99+2)+(100+1)$

$2S=101+101+101+101+\dots +101$ (100 vezes)

$2S=101*100$

$S=[100(100+1)]/2$

$S=5050$

Generalizando:

$S=1+2+3+\dots +(n-2)+(n-1)+n$

$2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+\dots +(n+1)$ (n vezes)

$2S=n(n+1)$

$S=[n(n+1)]/2$

Logo, $1+2+3+\dots +n=[n(n+1)]/2$

Exemplos

1) $S=1+2+3+\dots +68+69+70$

$S=[70(70+1)]/2$

$S=(70*71)/2$

$S=2485$

2)$M=41+42+43+\dots +150$

Neste caso existem duas formas de encontrar a resposta.

1ª forma : $M=41+42+43+\dots +150$

$M=(40+1)+(40+2)+(40+3)+\dots +(40+110)$

$M=(40+40+40+\dots +40)+(1+2+3+\dots +110)$

$M=(40*110)+[(110*111)/2]$

$M=4400+6105$

$M=10505$

2ª forma: $M=41+42+43+\dots +150$

$M=(1+2+3+\dots +150)-(1+2+3+\dots +40)$

$M=[(150*151)/2]-[(40*41)/2]$

$M=11325-820$

$M=10505$

Ver também

• Progressão aritmética#Soma dos termos de uma progressão aritmética
• Carl Friedrich Gauss#Vida