Desigualdade de Schur

Predefinição:Mais fontes Em matemática, a desigualdade de Schur, assim chamada em homenagem a Issai Schur, estabelece que se x, y, z são números reais não negativos, e t é um número positivo,

$x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-z)(y-x)+z^t(z-x)(z-y)\ge 0$

com a igualdade ocorrendo se e somente se x = y = z ou dois deles são iguais e o outro é zero. Quando t é um número inteiro positivo par, a desigualdade vale para todos os números reais x, y e z.

Extensões

Uma generalização da dsigualdade de Schur é o seguinte: Suponha que a, b, c sejam números reais positivos. Se os triplos (a, b, c) e (x, y, z) são igualmente classificados, a seguinte desigualdade é válida:

$a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\ge 0.$

Em 2007, o matemático da Romênia Valentin Vornicu mostrou que existe ainda uma forma generalizada da desigualdade de Schur:

Considere $a,b,c,x,y,z\in ℝ$, where $a\ge b\ge c$, and either $x\ge y\ge z$ or $z\ge y\ge x$. Let $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$, and let $f:ℝ\to {ℝ}_0^{+}$ seja convexa ou monotônica. Então,

$f(x)(a-b{)}^k(a-c{)}^k+f(y)(b-a{)}^k(b-c{)}^k+f(z)(c-a{)}^k(c-b{)}^k\ge 0.$

A forma padrão de Schur é o caso desta desigualdade ondex = a, y = b, z = c, k = 1, ƒ(m) = m^r.

Outra extensão possível indica que, se os números reais não negativos $x\ge y\ge z\ge v$com e o número real positivo t são tais que x + v ≥ y + z then

$x^t(x-y)(x-z)(x-v)+y^t(y-x)(y-z)(y-v)+z^t(z-x)(z-y)(z-v)+v^t(v-x)(v-y)(v-z)\ge 0.$