Métrica de Reissner-Nordström

Predefinição:Mais notas Em física e astronomia, a métrica Reissner-Nordström é uma solução estática das equações de campo de Einstein no espaço vazio, a qual corresponde ao campo gravitacional de uma corpo esfericamente simétrico de massa M, carregado eletricamente e sem rotação. Foi desenvolvida por Gunnar Nordström e Hans Reissner, e presta-se ao tratamento dos corpos massivos chamados de buracos negros de Reissner-Nordström. Tal métrica pode se escrita como

$c^2{d\tau }^2=(1-\frac{r_s}{r}+\frac{r_Q^2}{r^2})c^{2}d{t}^2-\frac{d{r}^2}{1-\frac{r_s}{r}+\frac{r_Q^2}{r^2}}-r^{2}d{\theta }^2-r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2$

em que

τ é o "tempo próprio" (tempo medido por um relógio movendo-se coma partícula) em segundos,

c é a velocidade da luz em metros por segundo,

t é a coordenada tempo (medida por um relógio estacionário no infinito) em segundo,

r é a coordenada radial (circunferência de um círculo centrado sobre a estrela divida por 2π) em metros,

θ é a colatitude (ângulo referente ao Norte) em radianos,

φ é a longitude em radianos, e

r_s é o raio de Schwarzschild (em metros) do corpo massivo, o qual é relacionado a sua mass M por

$r_s=\frac{2GM}{c^2}$

onde G é a contante gravitacional, e

r_Q é uma escala de comprimento correspondente à carga elétrica Q da massa

$r_Q^2=\frac{Q^{2}G}{4\pi {ϵ}_0{c}^4}$

onde 1/4πε₀ é a constante de força de Coulomb.

No limite que a carga Q (ou equivalentemente, a escala de comprimento r_Q) tenderá a zero, esta tende a métrica de Schwarzschild. A teoria clássica newtoniana da gravidade deve então ser tomada no limite com o raio r_s/r tendendo a zero. No limite, a métrica volta à métrica de Minkowski para a relatividade especial

$c^{2}d{\tau }^2=c^{2}d{t}^2-d{r}^2-r^{2}d{\theta }^2-r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$

Na prática, o raio r_s é quase sempre extremamente pequeno. Por exemplo, o raio de Schwarzschild r_s da Terra é aproximadamente 9 mm (³⁄₈  de polegada), onde um satélite em uma órbita geossíncrona tem um raio r que é aproximadamente quatro bilhões de vezes maior, em Predefinição:Fmtn km (Predefinição:Fmtn milhas). Quando na superfície da Terra, as correções para a gravitação newtoniana são somente uma parte em um bilhão. O raio somente torna-se grande próximo a buracos negros e outros objetos ultradensos tais como estrelas de nêutrons.

Buracos negros carregados

Embora buracos negros com $r_Q\ll r_s$ sejam similares a buracos negros de Schwarzschild, eles têm dois horizontes: o horizonte de eventos e um horizonte de Cauchy interno. Como usual, o horizonte de eventos para o espaço-tempo pode ser confiavelmente encontrado pela análise da equação

$g^{00}=1-\frac{r_s}{r}+\frac{r_Q^2}{r^2}=0$

Esta equação quadrática para r tem as soluções

$r_{\pm }=\frac{r_s\pm \sqrt{r_s^2-4r_Q^2}}{2}.$

Estes horizontes concêntricos tornam-se degenerados para $2r_Q=r_s$ a qual corresponde a um buraco negro extremo. Buracos negros com $2r_Q>r_s$ acreditam-se não existir na natureza porque eles conteriam uma "singularidade nua"; sua aparência iria contradizer a hipótese da censura cósmica de Roger Penrose a qual geralmente acredita-se ser verdadeira. Teorias com supersimetria usualmente garantem que tais buracos negros "superextremos" não podem existir.

O potencial eletromagnético é

$A_{\alpha }=(\frac{Q}{r},0,0,0)$.

Se monopolos magnéticos são incluídos na teoria, então uma generalização para incluir carga magnética $P$ é obtida por substituir $Q^2$ por $Q^2+P^2$ na métrica e incluir o termo $P\cos \theta d\varphi$ no potencial eletromagnético.

Bibliografia

• Reissner, H (1916). "Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einstein'schen Theorie". Annalen der Physik 50: 106–120.
• Nordström, G (1918). "On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory". Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam 26: 1201–1208.
• Adler, R; Bazin M, and Schiffer M (1965). Introduction to General Relativity. New York: McGraw-Hill Book Company, pp. 395–401. ISBN 978-0-07-000420-7.
• Wald, RM (1984). General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press, pp. 158, 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8.

Ligações externas

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