Sistema dinâmico de Liouville

Em mecânica clássica, um sistema dinâmico de Liouville é um sistema dinâmico com solução exata no qual a energia cinética T e a energia potencial V podem ser expressas em termos de s coordenadas generalizadas q como segue:

$T=\frac{1}{2}\{u_1(q_1)+u_2(q_2)+\cdots +u_s(q_s)\}\{v_1(q_1){\dot{q}}_1^2+v_2(q_2){\dot{q}}_2^2+\cdots +v_s(q_s){\dot{q}}_s^2\}$

$V=\frac{w_1(q_1)+w_2(q_2)+\cdots +w_s(q_s)}{u_1(q_1)+u_2(q_2)+\cdots +u_s(q_s)}$

A solução deste sistema consiste em um conjunto de equações separáveis integráveis

$\frac{\sqrt{2}}{Y}dt=\frac{d{\phi }_1}{\sqrt{E{\chi }_1-{\omega }_1+{\gamma }_1}}=\frac{d{\phi }_2}{\sqrt{E{\chi }_2-{\omega }_2+{\gamma }_2}}=\cdots =\frac{d{\phi }_s}{\sqrt{E{\chi }_s-{\omega }_s+{\gamma }_s}}$

onde E = T + V é a energia conservada e os ${\gamma }_r$ são constantes. Como descrito abaixo, as variáveis foram trocadas de q_r para φ_r, e as funções u_r e w_r substituídas por seus homólogos χ_r e ω_r. Esta solução possiu diversas aplicações tais como a órbita de pequenos planetas em torno duas estrelas fixas sob a influência da gravidade newtoniana. O sistema dinâmico de Liouville é uma das diversas coisas nomeadas em referência a Joseph Liouville, um eminente matemático francês.

Exemplo de órbitas bicêntricas

Em mecânica clássica, o problema de Euler dos três corpos descreve o movimento de uma partícula no plano sob a influência de dois centros fixos, cada qual atrai a partícula com a força do inverso do quadrado tal como a gravitação ou lei de Coulomb. Exemplos do problema de bicentro incluem um planeta movendo-se ao redor de duas estrelas, ou um elétron movendo-se no campo elétrico de dois núcleos positivamente carregados, tal como o primeiro íon da molécula de hidrogênio H₂. A intensidade das duas atrações não podem ser iguais; assim, as duas estrelas devem ter massas diferentes ou os dois núcleos devem ter cargas diferentes.

Solução

Seja o centro fixo de atração localizado ao longo do eixo x em ±a. A energia potencial da partícula em movimento é dada por

$V(x,y)=\frac{-{\mu }_1}{\sqrt{{(x-a)}^2+y^2}}-\frac{{\mu }_2}{\sqrt{{(x+a)}^2+y^2}}.$

Os dois centros de atrações pode ser consideradas como o foco de um conjunto de elípses. Se cada centro for ausente, a partícula moveria-se em uma dessas elipses, como uma solução do problema de Kepler. Entretanto, de acordo com o teorema de Bonnet, as mesmas elipses são soluções para o problema de bicentro.

Introduzindo coordenadas elípticas,

$x=a\cosh \xi \cos \eta ,$

$y=a\sinh \xi \sin \eta ,$

a energia potencial pode ser escrita como

$V(\xi ,\eta )=\frac{-{\mu }_1}{a(\cosh \xi -\cos \eta )}-\frac{{\mu }_2}{a(\cosh \xi +\cos \eta )}=\frac{-{\mu }_1(\cosh \xi +\cos \eta )-{\mu }_2(\cosh \xi -\cos \eta )}{a({\cosh }^2\xi -{\cos }^2\eta )},$

e a energia cinética como

$T=\frac{m{a}^2}{2}({\cosh }^2\xi -{\cos }^2\eta )({\dot{\xi }}^2+{\dot{\eta }}^2).$

Este é um sistema dinâmico de Liouville se ξ e η são tomados como φ₁ e φ₂, respectivamente; assim, a função Y é

$Y={\cosh }^2\xi -{\cos }^2\eta$

e a função W

$W=-{\mu }_1(\cosh \xi +\cos \eta )-{\mu }_2(\cosh \xi -\cos \eta )$

Utilizando a solução geral para um sistema dinâmico de Liouville, obtemos

$\frac{m{a}^2}{2}({\cosh }^2\xi -{\cos }^2\eta ){\dot{\xi }}^2=E{\cosh }^2\xi +\left(\frac{{\mu }_1+{\mu }_2}{a}\right)\cosh \xi -\gamma$

$\frac{m{a}^2}{2}{({\cosh }^2\xi -{\cos }^2\eta )}^2{\dot{\eta }}^2=-E{\cos }^2\eta +\left(\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{a}\right)\cos \eta +\gamma$

Introduzindo um parâmetro u pela fórmula

$du=\frac{d\xi }{\sqrt{E{\cosh }^2\xi +\left(\frac{{\mu }_1+{\mu }_2}{a}\right)\cosh \xi -\gamma }}=\frac{d\eta }{\sqrt{-E{\cos }^2\eta +\left(\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{a}\right)\cos \eta +\gamma }},$

resulta numa solução paramétrica

$u=\int \frac{d\xi }{\sqrt{E{\cosh }^2\xi +\left(\frac{{\mu }_1+{\mu }_2}{a}\right)\cosh \xi -\gamma }}=\int \frac{d\eta }{\sqrt{-E{\cos }^2\eta +\left(\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{a}\right)\cos \eta +\gamma }}.$

Desde que estas são integrais elípticas, as coordenadas ξ e η podem ser expressas como funções elípticas de u.

Constante de movimento

O problema bicêntrica possui uma constante de movimento, nomeadamente,

$r_1^2{r}_2^2\left(\frac{d{\theta }_1}{dt}\right)\left(\frac{d{\theta }_2}{dt}\right)-2c[{\mu }_1\cos {\theta }_1+{\mu }_2\cos {\theta }_2],$

a partir das quais o problema pode ser resolvido usando o método do último multiplicador.

Bibliografia

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