Razão anarmônica

Predefinição:Sem fontes Em geometria projetiva, distâncias e ângulos não são preservados. O conceito métrico que é preservado pelas transformações projetivas é a razão anarmônica.

A razão anarmônica de quatro pontos colineares é definida por:

(P_{1}; P_{2}; P_{3}; P_{4}) = \frac{P_{1} P_{3} \times P_{2} P_{4}}{P_{1} P_{4} \times P_{2} P_{3}}

em que os segmentos de reta devem ser interpretados como segmentos orientados.

Os quatro pontos estão na razão harmônica quando a razão anarmônica entre eles vale -1.

Exemplos

Sejam os pontos BCDE, em que BC é um lado de um triângulo ABC, e os pontos D e E são tais que AD é a bissetriz interna do ângulo Â e AE é a bissetriz externa. A razão anarmônica BCDE vale:

(B; C; D; E) = \frac{B D C E}{B E C D}

Orientando a reta BC no sentido de B para C, temos que BD e CD tem sinais opostos, enquanto que BE e CE tem o mesmo sinal:

(B; C; D; E) = - \frac{| B D | | C E |}{| B E | | C D |}

Usando as propridades das bissetrizes, ou seja, $\frac{| B D |}{| A B |} = \frac{| C D |}{| A C |}$ (e uma análoga com E no lugar de D):

(B; C; D; E) = - \frac{| A C | | A B |}{| A B | | A C |} = - 1

A razão anarmônica é preservada por transformações projetivas. No caso, as razões anarmônicas são iguais: (A; B; C; D) = (A'; B'; C'; D')