Ângulo inscrito

Predefinição:Mais-notas Em geometria, um ângulo inscrito é formado quando duas retas secantes de um círculo (ou, em casos extremos, quando uma reta secante e uma reta tangente do círculo) intersectam o círculo por um ponto comum.

Tipicamente, é mais fácil pensar em um ângulo inscrito como definido por duas cordas do círculo dividindo um ponto.

As propriedades básicas dos ângulos inscritos são discutidas nas proposições 20-22 do livro 3 dos Elementos de Euclides. Essas proposições garantem que o ângulo inscrito tem a metade da medida do ângulo central correspondente, que ângulos inscritos em um mesmo arco de uma corda são iguais e que a soma dos dois ângulos inscritos distintos correspondentes a uma determinada corda é 180°.

Medida do ângulo inscrito

Um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente ou a medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco correspondente.

Assim, seja $A\hat{V}B$ o ângulo inscrito de medida $\alpha$ e $A\hat{O}B$ o ângulo central correspondente de medida $\beta .$

Têm-se:

$\alpha =\frac{\beta }{2}$ ou $\alpha =\frac{\widehat{AB}}{2}$

Demonstração

Para demonstrar essa propriedade é preciso considerar 3 casos:

1. $O$ está num lado do ângulo.
2. $O$ é interno ao ângulo.
3. $O$ é externo ao ângulo.

   

   

1° Caso

Têm-se que $\overline{OV}\equiv \overline{OA},$ pois ambos são raios da circunferência.

Assim tem-se que $\mathrm{△}OVA$ é isósceles, o que implica $\hat{V}=\alpha$ e $\hat{A}=\alpha .$

Ainda no triângulo $OVA$ tem-se $\beta$ como sendo um ângulo externo. Logo, pelo teorema do ângulo externo, tem-se:

$\beta =\hat{A}+\hat{V}⟹\beta =\alpha +\alpha ⟹\beta =2\alpha .$

Logo, $\alpha =\frac{\beta }{2}$ e, como $\beta =\widehat{AB},$ vem $\alpha =\frac{\widehat{AB}}{2}.$

2° Caso

Tomando um ponto $C,$ sendo a intersecção de $\overrightarrow{OV}$ com a circunferência e, sendo:

$A\hat{V}C={\alpha }_1,$ $A\hat{O}C={\beta }_1,$ $C\hat{V}B={\alpha }_2$ e $C\hat{O}B={\beta }_2.$

Analisando esse ângulos, pode-se observar que ${\alpha }_1$ é ângulo inscrito de arco correspondente ${\beta }_1$ e que ${\alpha }_2$ é ângulo inscrito de arco correspondente ${\beta }_2.$

Assim é possível relacionar esses dois ângulos, conforme foi demonstrado no 1° caso.

$\{\begin{array}{c}{\beta }_1=2{\alpha }_1\\ {\beta }_2=2{\alpha }_2\end{array}⟹{\beta }_1+{\beta }_2=2({\alpha }_1+{\alpha }_2)\beta =2\alpha$

Logo, $\alpha =\frac{\beta }{2}$ e, como $\beta =\widehat{AB},$ vem $\alpha =\frac{\widehat{AB}}{2}.$

3° Caso

Tomando um ponto $C$ de intersecção de $\overrightarrow{VO}$ com a circunferência e, sendo:

$B\hat{V}C={\alpha }_1,$ $B\hat{O}C={\beta }_1,$ $A\hat{V}C={\alpha }_2$ e $A\hat{O}C={\beta }_2.$

Com isso, tem-se, seguindo o que foi demonstrado no primeiro caso:

$\{\begin{array}{c}{\beta }_1=2{\alpha }_1\\ {\beta }_2=2{\alpha }_2\end{array}⟹{\beta }_1-{\beta }_2=2({\alpha }_1-{\alpha }_2)$

Visto que $\beta ={\beta }_1-{\beta }_2$ e $\alpha ={\alpha }_1-{\alpha }_2,$ tem-se: $\beta =2\alpha$

Logo, $\alpha =\frac{\beta }{2}$ e, como $\beta =\widehat{AB},$ vem $\alpha =\frac{\widehat{AB}}{2}.$

Logo, um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente.

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Ligações externas

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