Difusão rotacional

Predefinição:Sem notas A difusão rotacional é o processo através do qual a distribuição estatística de equilíbrio da orientação global das partículas ou moléculas é mantida ou restaurada. A difusão rotacional é o contraponto da difusão translacional, que mantém ou restaura a distribuição estatística de equilíbrio das posições das partículas no espaço.

Versão rotacional da lei de Fick

Uma versão rotacional da lei da difusão de Fick pode ser definida. Deixa-se que cada molécula em rotação seja associada com um vector n de unidade de comprimento n·n=1; por exemplo, n pode representar a orientação de um momento do dipolo elétrico ou um momento do dipolo magnético. Deixar f(θ, φ, t) representar a Função densidade de probabilidade para a orientação de n no tempo t. Aqui, θ e φ representam os ângulos esféricos, com θ a ser o ângulo polar entre n e o eixo dos z e φ ser o ângulo azimutal de n no plano x-y. A versão rotacional da lei de Fick diz

$\frac{1}{D_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}}\frac{\partial f}{\partial t}={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}$

Esta equação diferencial parcial (EDP) pode ser resolvida por expansão de f(θ, φ, t) nas harmónicas esféricas para as quais a identidade matemática serve

$\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial Y_l^m}{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2{Y}_l^m}{\partial {\varphi }^2}=-l(l+1)Y_l^m$

então, a solução da EDP pode ser escrita

$f(\theta ,\varphi ,t)=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-l}^l{C}_{lm}{Y}_l^m(\theta ,\varphi )e^{-t/{\tau }_l}$

onde C_lm são constantes ajustadas à distribuição inicial e a constante de tempo iguala

${\tau }_l=\frac{1}{D_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}l(l+1)}$

Referências

• Predefinição:Citar livro