Curva de Agnesi

Imagem ilustrando a construção da curva de Agnesi

Em matemática, a curva de Agnesi, atribuída a Maria Gaetana Agnesi, é uma curva estudada por Agnesi em 1748 no seu livro Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana. A curva tem a seguinte descrição:

Fixada uma circunferência, toma-se um ponto O nela. De qualquer outro ponto A da circunferência, traça-se a secante OA. Seja M o ponto diametralmente oposto a O. A intersecção entre a reta OA e a reta tangente à circunferência no ponto M é o ponto N. Por A, traça-se uma reta paralela a MN, e por N uma reta paralela a OM. Seja P a interseção entre essas duas retas. O caminho que P faz ao variarmos A é a chamada curva de Agnesi.

Equação

Animação da construção da curva de Agnesi

Dado o círculo com raio $a$, considerando o ponto O na origem, a curva de Agnesi pode ser descrita pela seguinte equação:

$y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}$

Quando $a=1/2$, a equação fica da seguinte forma:

$y=\frac{1}{x^2+1}.$

Equações paramétricas

A equação paramétrica da curva, considerando o ângulo $\theta$ entre OM e OA, é

$x=2a\tan \theta ,y=2a{\cos }^2\theta .$

ou ainda, no caso de $\theta$ sendo o ângulo entre OA e o eixo x, a equação paramétrica fica:

$x=2a\cot \theta ,y=2a{\sin }^2\theta .$

Uma terceira parametrização, que utiliza apenas funções algébricas, consiste em:

$\{\begin{array}{ccc}x& =& 2at\\ y& =& \frac{2a}{1+t^2}.\end{array}$

Propriedades

• A área entre a curva de Agnesi e sua assíntota ($y=0$) é quatro vezes a área do círculo fixado, (ou seja, $4\pi a^2$). Particularmente, para $a=0,5$, a área embaixo da curva é igual a $\pi$.
• O volume de revolução da curva em torno de sua assíntota é de $4{\pi }^2{a}^3$.

História e nome da curva

A curva de Agnesi foi estudada por Pierre de Fermat em 1666, Guido Grandi em 1701, e por Maria Agnesi in 1748.

Em diversas línguas, a curva de Agnesi é chamada "Bruxa de Agnesi", devido a um erro de tradução. John Colson, professor de matemática em Cambridge, que havia aprendido italiano apenas para traduzir a obra de Agnesi para o inglês, ao invés de ler la versiera di Agnesi, que significa curva de Agnesi, leu l'avversiera di Agnesi, onde l'avversiera significa bruxa. Desde então, em muitas línguas a curva recebeu esse nome.

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• "Witch of Agnesi" at MacTutor's Famous Curves Index
• "Cubique d'Agnesi" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables Predefinição:Fr icon
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