Congruência de Zeller

Congruência de Zeller é um algoritmo criado por Christian Zeller para calcular o dia da semana de qualquer data nos calendários juliano ou gregoriano.

Fórmula

Para um calendário gregoriano, a congruência de Zeller é

$h=(q+\lfloor \frac{(m+1)26}{10}\rfloor +K+\lfloor \frac{K}{4}\rfloor +\lfloor \frac{J}{4}\rfloor -2J)mod7,$

Já para o calendário juliano, ela é

$h=(q+\lfloor \frac{(m+1)26}{10}\rfloor +K+\lfloor \frac{K}{4}\rfloor +5-J)mod7,$

em que

• h é o dia da semana (0 = sábado, 1 = domingo, 2 = segunda, …)
• q é o dia do mês
• m é o mês (3 = março, 4 = abril, 5 = maio, …)
• K é o ano do século ($anomod100$)
• J é o século ($\lfloor ano/100\rfloor$) (por exemplo, para 1995 o século seria 19, ainda que na realidade o século seria XX)

Nota 1: Neste algoritmo, janeiro e fevereiro são contados como os meses 13 e 14 do ano anterior. Em outras palavras, dado um ano X qualquer, para calcular o dia da semana desse ano no mês de janeiro ou fevereiro, deve-se calcular como se o ano fosse X-1. Por exemplo: para saber o dia da semana do ano de 1995 de todos os meses de março a dezembro, usa-se a fórmula como está prescrita acima, mas para saber o dia da semana do mês de janeiro e fevereiro do ano de 1995, deve-se considerar K = 1994.

Nota 2: Para o dia do mês em ISO (1 = segunda, …), use $d=((h+5)mod7)+1$

Implementação em software

As fórmulas anteriores requerem a definição matemática da operação módulo, que significa que $-2mod7=+5$. Entretanto, a maioria das linguagens de programação implementam a função de resto, de forma que $-2mod7=-2$. Portanto, para implementar a congruência de Zeller em um computador, as fórmulas devem ser alteradas para assegurar um numerador positivo. A forma mais simples de se fazer isso é substituir $-2J$ por $+5J$ e $-J$ por $+6J$. Assim, as fórmulas se tornam:

$h=(q+\lfloor \frac{(m+1)26}{10}\rfloor +K+\lfloor \frac{K}{4}\rfloor +\lfloor \frac{J}{4}\rfloor +5J)mod7,$

para o calendário gregoriano e

$h=(q+\lfloor \frac{(m+1)26}{10}\rfloor +K+\lfloor \frac{K}{4}\rfloor +5+6J)mod7,$

para o calendário juliano.

Zeller usava aritmética decimal, e achou conveniente usar $J$ & $K$ para representar o ano. Mas usando um computador é mais simples lidar com o ano modificado Y usando Y, Y div 4, e para o calendário gregoriano também Y div 100 & Y div 400.

Ver também

• Algoritmo Doomsday