Estabilidade assimptótica

Predefinição:Formatar referências Predefinição:Sem-notas Na teoria dos sistemas dinâmicos, a estabilidade de um sistema é a capacidade que um sistema possui de esquecer o seu passado conforme o tempo tende a infinito. Mais precisamente, um sistema dinâmico é dito assimptoticamente estável se tende ao seu(s) ponto(s) de equilíbrio(s) quando submetido à ingresso constante. No caso dos sistemas lineares isto significa que o movimento livre do sistema tende para zero com o passar do tempo. Quando um sistema atinge o ponto de equilibrio se diz entrou em regime estacionário.

Sistemas lineares

O movimento de um sistema linear invariante no tempo descrito pela quaterna (A,B,C,D) é dado pela fórmula de Lagrange:

${𝐱\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}\mathbf{=}\mathrm{\Phi }\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}𝐱\mathbf{(}\mathrm{𝟎}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathrm{\Psi }\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}𝐮}_{\mathbf{[}\mathrm{𝟎},𝐭\mathbf{)}}\mathbf{(}\cdot {\mathbf{)}\mathbf{=}𝐱}_{𝐋}{\mathbf{+}𝐱}_{𝐅}$

onde:

x(t) é o movimento do sistema

${𝐱}_{𝐋}$ é o movimento livre do sistema

${𝐱}_{𝐅}$ é o movimento forçado do sistema

$\mathrm{\Phi }\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}={𝐞}^{𝐀𝐭}$ para sistemas a tempo continuo e $\mathrm{\Phi }\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}={𝐀}^{𝐭}$ para sistemas a tempo discreto e se chama matriz de transição

${𝐮}_{\mathbf{[}\mathrm{𝟎},𝐭\mathbf{)}}\mathbf{(}\cdot \mathbf{)}$ é a função de ingresso do sistema definida do intervalo [0,t)

$\mathrm{\Psi }\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}$ é 1 operador linear aplicado à função de ingresso

Um sistema linear é dito assimptoticamente estável quando:

$\mathrm{\forall }x(0);\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Phi }\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}𝐱\mathbf{(}\mathrm{𝟎}\mathbf{)}=0$

Ou seja o movimento livre do sistema tende a zero quando o tempo tende a infinito para toda condição inicial x(0). Isso só é possível se a matriz de transição tender a zero para o tempo tendente a infinito.

Estabilidade segundo Lyapunov

Considere um sistema do tipo $\dot{𝐱}\mathbf{=}𝐟\mathbf{(}𝐱,𝐮\mathbf{)}$ ou $𝐱\mathbf{(}𝐭\mathbf{+}\mathrm{𝟏}\mathbf{)}\mathbf{=}𝐟\mathbf{(}𝐱,𝐮\mathbf{)}$, isto é um sistema não-linear ou linear com ingresso nulo. Seja $\overline{x}$ um ponto de equilibrio e $I_{\overline{x}}$ uma sua vizinhança. Um ponto de equilíbrio $\overline{x}$ é local e assimptoticamente estável se:

$\mathrm{\forall }x(0)\in I_{\overline{x}};\mathrm{\exists }\delta >0/x(t)\in I_{\overline{x},\delta }\wedge x(t)\to \overline{x}p/t\to +\mathrm{\infty }$

onde $I_{\overline{x},\delta }$ é uma vizinhança pequena quanto se queira de $\overline{x}$ . Nos sistemas lineares, se existe um ponto de equilíbrio ou é único ou existe um infinidade não enumerável destes. As vizinhanças de tais equilíbrios podem ser todo o espaço ${𝐑}^{𝐧}$. Assim sendo, a definição de estabilidade segundo Lyapunov para sistemas lineares coincide com a definição anterior. Isso implica que em sistemas lineares o comportamento global do sistema pode ser estudado a partir do comportamento local, algo que muitas vezes não é possível em sistemas não-lineares devido à presença de um conjunto enumerável de equilíbrios.

Ver também

• Equilíbrio (equação diferencial)

Bibliografia

• S. Rinaldi e C. Piccardi. I sistemi lineari: teoria, modelli, applicazioni. CittàStudi Edizioni, 1998. Predefinição:ISBN