Lema de Urysohn

Predefinição:Mais fontes O lema de Urysohn é um importante resultado em matemática, mais especificamente em topologia; demonstrado pela primeira vez pelo matemático russo Pavel Samuilovich Urysohn, afirma que se um espaço topológico é normal, então quaisquer fechados disjuntos em tais espaços podem ser separados por uma função.

Enunciado

O enunciado do Lema de Urysohn, provado pelo próprio em 1925, diz que se $⟨X,\tau ⟩$ é um espaço topológico normal; dados os $\tau$-fechados e disjuntos $A,B\subseteq X$, existe uma função contínua $f:X\to [0,1]$ tal que $f(A)\subseteq \{0\}$ e $f(B)\subseteq \{1\}$. Tal função é chamada função de Urysohn

Demonstração

Considere o conjunto $S$ dos racionais em $[0,1]$, isto é

$S=[0,1]\cap \mathbb{Q}=\{s_0=0,s_1=1,\dots ,s_n,\dots \}.$

Dados os fechados $A$ e $B$, definimos uma seqüência de abertos indexados em $S$ tais que

$U_{s_i}\subseteq U_{s_j}$

sempre que $s_i<s_j$, para quaisquer $i,j\in \omega$. Para isso, tome o aberto $X\setminus B$. Como $X$ é normal, existe um aberto $U_0$ tal que

$A\subseteq U_0\subseteq {\bar{U}}_0\subseteq X\setminus B.$

Defina $U_{s_1}=X\setminus B$. Tome $s_2\in S\setminus \{0,1\}$, temos que $0<s_2<1$. Portanto podemos escolher um $\tau$-aberto $U_{s_2}$ tal que

${\bar{U}}_0\subseteq U_{s_2}\subseteq {\bar{U}}_{s_2}\subseteq U_1.$

Assim, seja $s_3\in S\setminus \{0,1,s_2\}$ e tome $q_3=\max \{x\in \{0,1,s_2\}:x<s_3\}$ e $r_3=\min \{x\in \{0,1,s_2\}:s_3<x\}$. Assim, novamente pela normalidade do espaço, podemos escolher um $\tau$-aberto $U_{s_3}$ tal que

${\bar{U}}_{q_3}\subseteq U_{s_3}\subseteq {\bar{U}}_{s_3}\subseteq U_{r_3}.$

Procedemos, analogamente, por indução. Suponha, pelo bem da demonstração, que já estejam escolhidos os $\tau$-abertos $U_0,\dots ,U_{s_n}$, para algum $n\in \omega$. Tome $s_{n+1}\in S\setminus \{0,1,s_2,\dots ,s_n\}$ e defina $q_{n+1}=\max \{x\in \{0,1,s_2,\dots ,s_n\}:x<s_{n+1}\}$ e $r_{n+1}=\min \{x\in \{0,1,s_2,\dots ,s_n\}:s_{n+1}<x\}$. Podemos, portanto, escolher um $\tau$-aberto $U_{s_{n+1}}$ tal que

${\bar{U}}_{q_{n+1}}\subseteq U_{s_{n+1}}\subseteq {\bar{U}}_{s_{n+1}}\subseteq U_{r_{n+1}}.$

Assim procedemos até o primeiro ordinal transfinito $\omega$. Com isso, dispondo da família $⟨U_{s_n}{⟩}_{n\in \omega }$ tal como acima, defina $f:X\to [0,1],$ dada por

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\inf (\{r\in S:x\in U_r\}),& \text{ se }x\in U_{s_1}\\ 1,& \text{ se }x\in ̸U_{s_1}\end{array}$

É evidente que $f$ é contínua já que os intervalos do tipo $[0,a[$ e $]b,1]$, com $a,b\in [0,1]$ formam uma sub-base de $[0,1]$ com a topologia de subspaço; temos, também, que $f(A)\subseteq \{0\}$ e $f(B)\subseteq \{1\}$, o que conclui a demonstração.

A recíproca do lema de Urysohn também é válida; com efeito, tomemos os $\tau$-abertos

$U=f^{-1}([0,1/2[)\text{ e }V=f^{-1}(]1/2,1]).$

Temos que

$A\subseteq U,B\subseteq V,\text{ e }U\cap V=\mathrm{\varnothing }.$

Observações

Deve estar claro ao leitor que o passo da atribuição de um racional ao aberto, que satifaça a relação de inclusão, é feito mediante a admissão do Princípio da Escolha Dependente. Temos também que o Lema de Urysohn é não-demonstrável em ZF , mas é demonstrável em ZF + DC.

Vale salientar que a função de Urysohn depende dos fechados $A$ e $B$.

Há quem diga que na matemática, os teoremas mais difíceis de provar são aqueles que envolvem "tirar um coelho da cartola", e a prova deste teorema é considerada por muitos matemáticos como um dos maiores coelhos que alguma vez foram tirados de alguma cartola.

Ver também

• Teorema da Extensão de Tietze-Urysohn
• Espaço Normal

• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN-10: 3885380064.
• Pavel Urysohn, Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen, Mathematische Annalen, vol. 94 (1925), pp. 262-308.