Teorema de Menelaus

O teorema de Menelaus é útil na resolução de problemas envolvendo triângulos e está relacionado com conjuntos de determinados pontos que são colineares, ou com conjuntos de segmentos que são concorrentes.

Demonstração

Considere um triângulo $ABC$ e uma reta $r$ que corte os lados $AC$, $AB$ e o prolongamento de $BC$ nos pontos $L$, $M$ e $N$, respectivamente.

Traça-se as perpendiculares que saem dos vértices do triângulo $ABC$ à reta $r$.

Façamos semelhança de triângulos.

$BPM\sim AQM$

$\frac{MA}{MB}=\frac{h_2}{h_1}$

$NRC\sim NPB$

$\frac{NB}{NC}=\frac{h_1}{h_3}$

$RLC\sim ALQ$

$\frac{LC}{LA}=\frac{h_3}{h_2}$

Multipliquemos as três equações:

$\frac{MA}{MB}\cdot \frac{NB}{NC}\cdot \frac{LC}{LA}=\frac{h_2}{h_1}\cdot \frac{h_1}{h_3}\cdot \frac{h_3}{h_2}$

Finalmente:

$\frac{MA}{MB}\cdot \frac{NB}{NC}\cdot \frac{LC}{LA}=1$

Aplicação

No triângulo $ABC$, determine a razão $\frac{EA}{EC}$.

Aplicando o teorema de Menelaus, temos:

$\frac{FA}{FB}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}=1$

$\frac{4}{1}\cdot \frac{5}{3}\cdot \frac{EC}{EA}=1$

$\frac{EC}{EA}=\frac{3}{20}$

$\frac{EA}{EC}=\frac{20}{3}$

Menelau, o criador do teorema

Menelau, o criador do teorema.

Menelau nasceu em Alexandria, Egito por volta de 100 d.C foi astrônomo e geômetra, foi o primeiro a escrever a definição de triângulos esféricos, produziu um tratado sobre cordas num círculo, em seis livros, porém vários deles se perderam. Felizmente o seu tratado Sphaerica, em três livros, se preservou numa versão árabe e o trabalho mais antigo conhecido sobre trigonometria esférica. Menelau também continuou os trabalhos de Hiparco em trigonometria, mas demonstrou interessantíssimo teorema, que leva o seu nome. Ardente defensor da geometria clássica e criador do tradicional teorema de Menelau escreveram várias obras de trigonometria e geometria. Menelau morreu em lugar incerto, talvez na própria Alexandria.

Ver também

• Bissetriz
• Teorema de Ceva