Integral de Riemann-Stieltjes

Thomas Joannes Stieltjes

Em matemática, a integral de Riemann–Stieltjes é uma generalização da integral de Riemann, nomeada devido a Bernhard Riemann e Thomas Joannes Stieltjes.

Definição

A integral de Riemann–Stieltjes de uma função resultante em valores reais f de uma variável real em relação a uma função real g é notado para

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)$

e definida ser o limite, como a subpartição da partição

$P=\{a=x_0<x_1<\dots <x_n=b\}$

do intervalo [a, b] aproximando-se de zero, da soma de aproximação

$S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_i)(g(x_{i+1})-g(x_i))$

onde c_i está no i-ésimo subintervalo [x_i, x_i+1]. As duas funções f e g são respectivamente chamadas o integrando e o integrador.

O "limite" é aqui entendido no seguinte sentido: existe um certo número A (o valor da integral de Riemann-Stieltjes) tal que para cada ε > 0 existe uma partição P_ε tal que para cada partição P com subpartição (P) < mesh(P_ε), e para cada escolha de pontos c_i em [x_i, x_i+1],

$|S(P,f,g)-A|<ϵ.$

Bibliografia

• Hildebrandt, T. H. (1938), "Definitions of Stieltjes Integrals of the Riemann Type", The American Mathematical Monthly 45 (5): 265–278, MR1524276, ISSN 0002-9890
• Pollard, Henry (1920), "The Stieltjes integral and its generalizations", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 19