Constante de Catalan

A constante de Catalan, normalmente expressa pela letra $G$, é o valor numérico da série

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots$,

ou seja, o valor da função beta de Dirichlet $\beta (2)$. A constante é assim denominada em homenagem a Eugène Charles Catalan (1814–1894). Sua irracionalidade é aceita, porém ainda não demonstrada.

História

Catalan denominou esta constante como G em seu trabalho de 1883, acompanhado este por diversas representações integrais e em série. A denominação G provem possivelmente do engenheiro Jacques Bresse.

Valor

Um valor aproximado é

$G=0,91596559417721901505...$

Atualmente (16 de abril de 2009) são conhecidos 31.026.000.000 dígitos.

Outras representações

Dentre as inúmeras representações, algumas são apresentadas a seguir.

Integral

$G=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln t}{1+t^2}\mathrm{d}t$

$G=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arctan t}{t}\mathrm{d}t$

$G=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x^2{y}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Série

De acordo com Ramanujan:

$G=\frac{\pi }{8}\ln (2+\sqrt{3})+\frac{3}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1{)}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}$.

Também converge rapidamente a soma:

$G=\frac{1}{64}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}\cdot 2^{8n}\cdot (40n^2-24n+3)\cdot (2n){!}^3\cdot n{!}^2}{n^3\cdot (2n-1)\cdot (4n){!}^2}$

Séries tipo BBP

Tentou-se encontrar séries do tipo BBP. Uma série de 9 termos foi apresentada por Victor Adamchik em 2007:

$G=\frac{3}{64}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{64^n}(\frac{32}{(12n+1{)}^2}-\frac{32}{(12n+2{)}^2}-\frac{32}{(12n+3{)}^2}-\frac{8}{(12n+5{)}^2}-\frac{16}{(12n+6{)}^2}-\frac{4}{(12n+7{)}^2}-\frac{4}{(12n+9{)}^2}-\frac{2}{(12n+10{)}^2}+\frac{1}{(12n+11{)}^2})$

Bibliografia

• Lasar Aronowitsch Ljusternik: Mathematical Analysis. Functions, Limits, Series, Continued Fractions, 1965, S.313−314.
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