Fórmula de inversão de Möbius

A fórmula de inversão de Möbius, assim denominada em homenagem a August Ferdinand Möbius (Schulpforta, 17 de novembro de 1790 - Leipzig, 26 de setembro de 1868) é resultado de teoria elementar dos números que permite explicitar uma função aritmética em termos de uma outra, definida a partir da primeira, e da função de Möbius. Objetivamente, o resultado diz que se $f$ e $g$ são duas funções aritméticas tais que

$f(n)=\sum _{d|n}g(d)$, então vale $g(n)=\sum _{d|n}\mu (n/d)f(d)$

A demonstração que apresentamos a seguir tem a mesma essência de muitas encontradas nos livros de teoria dos números. No entanto, a modificação introduzida elimina um desconforto causado por uma permuta de somatórios muito comum em tais livros didáticos.

Demonstração

Dado $n\in \mathbb{N}$, denotemos por $D(n)$ o conjunto dos divisores de $n$ e para cada $d\in D(n)$ seja ${\chi }_d:D(n)\to \{0,1\}$ a função característica de $D(d)\subset D(n)$, ou seja, dado $m\in D(n)$ temos ${\chi }_d(m)=1$, se $m\in D(d)$ e ${\chi }_d(m)=0$ se $m\in ̸D(d)$. Agora para mostrar que $g(n)=\sum _{d|n}\mu (n/d)f(d)$, partimos do segundo membro e chegamos no primeiro. De fato, Inicialmente observamos que para cada $m\in D(n)$ temos $\sum _{d|n}{\chi }_d(m)\mu (n/d)={\delta }_{mn}$, onde ${\delta }_{mn}=1$, se $m=n$ e ${\delta }_{mn}=0$ se $m\ne n$. Com efeito, as parcelas que contribuem efetivamente no somatório acima são aquelas para as quais $d$ é multiplo de $m$. Assim, podem-se escrever $d=mq$, com $1\le q\le n/m$. Fazendo $n^{\prime }=\frac{n}{m}$ e usando o fato que $d|n$ segue que $q|n^{\prime }$. Reciprocamente, se $q|n^{\prime }$ então $d=mq$ é divisor de $n$ e múltiplo de $m$.

Portanto, podemos escrever

$\sum _{d|n}{\chi }_d(m)\mu (n/d)=\sum _{q|n^{\prime }}\mu (n^{\prime }/q)={\delta }_{n^{\prime }1}={\delta }_{mn}$. A penúltima igualdade é conhecida e a última segue da definição do delta de Kronecker, lembrando que $n^{\prime }=\frac{n}{m}$.

Por fim,

$\sum _{d|n}\mu (n/d)f(d)=\sum _{d|n}\mu (n/d)\sum _{m|d}g(m)=\sum _{d|n}\mu (n/d)\sum _{m|n}{\chi }_d(m)g(m)$ $=\sum _{d|n}\sum _{m|n}\mu (n/d){\chi }_d(m)g(m)=\sum _{m|n}\sum _{d|n}\mu (n/d){\chi }_d(m)g(m)=\sum _{m|n}(\sum _{d|n}\mu (n/d){\chi }_d(m))g(m)$ $=\sum _{m|n}{\delta }_{mn}g(m)=g(n)$. Isso conclui a demonstração.

Também vale notar que podemos reverter o processo e reobter a função $f$ a partir de $g$. Nas palavras do autor da referência abaixo, se duas funções aritméticas satisfazem uma das equações dadas no enunciado, então também satisfazem a outra. De fato, assumindo que a segunda equação ocorre e mantendo as notações acima, temos

$\sum _{d|n}g(d)=\sum _{d|n}\sum _{m|d}\mu (d/m)f(m)=\sum _{d|n}\sum _{m|n}{\chi }_d(m)\mu (d/m)f(m)=\sum _{m|n}(\sum _{d|n}{\chi }_d(m)\mu (d/m))f(m)$ $=\sum _{m|n}(\sum _{q|n^{\prime }}\mu (q))f(m)=\sum _{m|n}{\delta }_{n^{\prime }1}f(m)=\sum _{m|n}{\delta }_{mn}f(m)=f(n).$

Referências bibliográficas

• Santos, J.P.O., Introdução à Teoria dos Números, Matemática Universitária, IMPA.