Princípio de Dirichlet

Em matemática, o princípio de Dirichlet em teoria do potencial estabelece que, se a função u(x) é a solução para a equação de Poisson

$\mathrm{\Delta }u+f=0$

sobre um domínio $\mathrm{\Omega }$ de ${ℝ}^n$ com condição de contorno

$u=g\text{ on }\partial \mathrm{\Omega },$

então u pode ser obtido como o mínimo da energia de Dirichlet

$E[v(x)]=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\frac{1}{2}|\mathrm{\nabla }v{|}^2-vf)\mathrm{d}x$

entre todas as funções duas vezes diferenciáveis $v$ tal que $v=g$ em $\partial \mathrm{\Omega }$ (desde que exista pelo menos uma função que faça a integral de Dirichlet finita). Este conceito é nomeado em homenagem ao matemático alemão Lejeune Dirichlet.

Uma vez que a integral de Dirichlet é delimitada a partir de baixo, a existência de um ínfimo é garantida. Ínfimo este que é atingido como foi demonstrado por Riemann (que cunhou o termo princípio de Dirichlet) e outros até Weierstrass que apresentou um exemplo de um funcional que não atingia o mínimo. Hilbert, mais tarde, justificou a utilização de Riemann do princípio de Dirichlet .

Ver também

• Problema de Plateau
• Primeira identidade de Green

Referências

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:MathWorld