Coordenadas elípticas

Sistema de coordenadas elípticas.

As coordenadas elípticas são um sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonais, onde as linhas coordenadas são elipses e hipérboles com os mesmos focos. Os focos $F_1$ e $F_2$ estão geralmente fixos nas posições $x=-a$ e $x=+a$, respectivamente, sobre o eixo $OX$ de um sistema cartesiano cujos eixos são eixos de simetría das linhas coordenadas hiperbólicas e elípticas.

As coordenadas elípticas cilíndricas são um sistema tridimensional obtido rotacionando o sistema anterior em torno do eixo dos focos e adicionando uma coordenada angular polar adicional.

Definição

A definição mais comum das coordenadas elípticas bidimensionais $(\mu ,\nu )$ é: Predefinição:Equação Onde:

$\mu$ é um número real não-negativo e

$\nu \in [0,2\pi )$.

No plano complexo, existe uma relação equivalente dada por:

$x+\mathrm{i}y=a\cosh (\mu +i\nu )$

Estas definições correspondem à elipses e hipérboles. A identidade trigonométrica

$\frac{x^2}{a^2}{\cosh }^2\mu +\frac{y^2}{a^2}{\sinh }^2\mu ={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1$

mostra que as curvas com $\mu$ constante são elipses, enquanto que a identidade trigonométrica hiperbólica

$\frac{x^2}{a^2}{\cos }^2\nu -\frac{y^2}{a^2}{\sin }^2\nu ={\cosh }^2\mu -{\sinh }^2\mu =1$

mostra que as curvas com $\nu$ constante são hipérboles.

Aplicações

As aplicacões clássicas das coordenadas elípticas são a resolução de equações diferenciais parciais como a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as que as coordenadas elípticas admitam separação de variáveis. Um exemplo típico é a carga elétrica que rodeia um condutor plano de largura 2a. Ou o campo de duas cargas elétricas pontuais de mesmo sinal a uma distância 2a.