Desigualdade do valor médio

A desigualdade do valor médio é um importante resultado da Análise Vetorial, pois dele seguem resultados muito relevantes, como, e.g., continuidade e diferenciabilidade de funções vetoriais, o Teorema de Schwarz, diferenciabilidade uniforme de funções de classe $C^1$, fornecendo uma estimativa para a distância entre os valores das imagens de dois pontos em seu domínio.

Enunciado

Seja $f:U\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^p$ uma função contínua definida em um aberto, $U$ de ${ℝ}^n$. Sejam $a\in U$ e $h\in {ℝ}^n$ tal que $a+h\in U$. Denotem-se por:

$[a,a+h]=\{a+th,t\in [0,1]\}$

$(a,a+h)=\{a+th,t\in (0,1)\}$

Se:

$f$ é contínua em $[a,a+h]\subset U$

$f$ é diferenciável em $(a,a+h)\subset U$

então vale:

$\Vert f(a+h)-f(a)\Vert \le \Vert h\Vert \underset{t\in [0,1]}{\sup }\{\Vert f^{\prime }(a+th)\Vert \}$

Prova

Considere a função auxiliar $\mathrm{\Phi }(t)=f(a+th)$. Basta mostrarmos que:

$\Vert \varphi (1)-\varphi (0)\Vert \le M=\sup \{\Vert {\varphi }^{\prime }(t)\Vert ,t\in [0,1]\}$

Mostraremos que

$\Vert \varphi (1)-\varphi (0)\Vert \le M+\epsilon \mathrm{\forall }\epsilon >0$

Com efeito, considere o conjunto:

$X=\{t\in [0,1],\Vert \varphi (s)-\varphi (0)\Vert \le (M+\epsilon )s\mathrm{\forall }s\in [0,t]\}$

É fácil ver que $X\ne \varnothing$, pois obviamente $0\in X$

Ademais, $X$ é um intervalo, pois dado $t\in X$, para qualquer $0\le z<t$ temos que: $z\in \{t\in [0,1],\Vert \varphi (s)-\varphi (0)\Vert \le (M+\epsilon )s\mathrm{\forall }s\in [0,z]\subset [0,t]\}$ ou seja, $z\in X$

Ademais, pela continuidade de $\varphi$ pode-se verificar que $X$ é fechado, i.e., que $\sup X\in X$

Afirmamos que $\sup X=1$. Com efeito, suponha, ab absurdo que $\alpha =\sup X<1$. Então, para qualquer $\epsilon >0$ dado acima existe um $0<\delta$ tal que $\alpha +\delta <1$. Ademais, como $\varphi$ é diferenciável em $[a,h)$, segue que tomando $0<\sigma <\delta$ suficientemente pequeno, vale:

$\varphi (\alpha +\sigma )=\varphi (\alpha )+{\varphi }^{\prime }(\alpha )\cdot \sigma +r(\sigma )$

com

$\Vert r(\sigma )\Vert <\epsilon \sigma$

$\Vert \varphi (\alpha +\sigma )-\varphi (\alpha )\Vert \le \Vert {\varphi }^{\prime }(\alpha )\Vert \sigma +\epsilon \sigma$ Como supusemos $\alpha \in X$, também temos:

$\Vert \varphi (\alpha )-\varphi (0)\Vert <(M+\epsilon )\sigma$

Assim, tem-se que

$\Vert \varphi (\alpha +\sigma )-\varphi (0)\Vert =\Vert \varphi (\alpha +\sigma )-\varphi (\alpha )+\varphi (\alpha )-\varphi (0)\Vert \le \Vert \varphi (\alpha +\sigma )-\varphi (\alpha )\Vert +\Vert \varphi (\alpha )-\varphi (0)\Vert <(M+\epsilon )(\alpha +\sigma )$

de modo que $\alpha +\sigma \in X$, o que é absurdo, pois $\alpha =\sup X$. Logo, $\alpha =1$, e vale a desigualdade:

$\Vert \varphi (1)-\varphi (0)\Vert \le (M+\epsilon )1$

Assim,

$\Vert \varphi (1)-\varphi (0)\Vert \le M$

e vale que:

$\Vert \varphi (1)-\varphi (0)\Vert =\Vert f(a+h)-f(a)\Vert \le \Vert h\Vert \{\Vert {\varphi }^{\prime }(t)\Vert ,t\in [0,1]\}=\Vert h\Vert \sup \{\Vert f^{\prime }(a+th)\Vert |0\le t<1\}$ Q.E.D.

Referências

• Elon Lages Lima - Análise no R^N, ISBN 8524401893