Operador de defasagem

Em econometria de séries temporais, Operador de defasagem é o termo usado para designar o operador que representa o número de períodos associados a uma observação precedente.

Definição formal

O operador defasagem "L" é definido como sendo um operador linear tal que, para qualquer valor $y_t$, teremos:

$L^i{y}_t=y_{t-i}$, ou seja, $L^i=\frac{y_{t-i}}{y_t}$

onde $L^i$ significa simplesmente a defasagem de $y_t$ por "i" períodos.

Propriedades

As seguintes propriedades valem para os operadores defasagem

1. "i"pode assumir qualquer valor inteiro. Se assumir valor negativo, representa períodos à frente e não para trás:$L^2{y}_t=y_{t-2}$, $L^{-3}{y}_t=y_{t+3}$
2. A defasagem de uma constante "c" é a constante: $Lc=c$
3. Distributiva: $(L^i+L^j)\cdot y_t=L^i{y}_t+L^j{y}_t=y_{t-i}+y_{t-j}$
4. Associativa da multiplicação: $L^i\cdot L^j\cdot y_t=L^i\cdot \left(L^j{y}_t\right)=L^i\cdot y_{t-j}=y_{t-i-j}$

Utilidade

Os operadores defasagem permitem uma notação concisa para escrever equações a diferença.

Por exemplo, seja a equação de ordem "p":

$y_t=a_0+a_1\cdot y_{t-1}+a_2\cdot y_{t-2}+...+a_p\cdot y_{t-p}+{\epsilon }_t$

Colocando todos os termos $y_{t-i}$ para o lado esquerdo da equação e os demais para o lado direito, temos:

$y_t-a_1\cdot y_{t-1}-a_2\cdot y_{t-2}-...-a_p\cdot y_{t-p}=a_0+{\epsilon }_t$

Colocando $y_t$ em evidência, temos:

$[1-a_1\frac{y_{t-1}}{y_t}-a_2\frac{y_{t-2}}{y_t}-...-a_p\frac{y_{t-p}}{y_t}]y_t=a_0+{\epsilon }_t$

Utilizando o operador defasagem, podemos escrever esta equação como:

$[1-a_{1}L-a_2{L}^2-...-a_p{L}^p]y_t=a_0+{\epsilon }_t$

ou, de maneira ainda mais compacta,

$A\left(L\right)y_t=a_0+B\left(L\right){\epsilon }_t$,

onde $A\left(L\right)$ pode ser visto como um polinômio do operador defasagem. A notação $A\left(1\right)$ é usada para denotar a soma dos coeficientes:

$A\left(1\right)=1-a_1-a_2-...-a_p$

Ver também

• Econometria
• Série temporal