Declive

Em matemática, o declive, também chamado de coeficiente angular, é a medida da inclinação de uma reta face ao eixo horizontal. Coincide numericamente com a tangente do ângulo formado entre a reta e esse eixo. Dada uma reta representada por $y=mx+n$, diz-se que $m$ representa o seu declive.

Gráfico de uma função do primeiro grau, caracterizado por uma reta. O coeficiente angular da reta é geralmente representado pela letra "m".

Em geografia fala-se de nivelamento.

É possível determinar o comportamento da reta $y=f(x)$ nas seguintes condições:

Se $m>0$, a reta é dita crescente, pois $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$.

Se $m<0$, a reta é dita decrescente, pois conforme $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$.

Se $m=0$, a inclinação é nula em relação ao eixo horizontal e a função que a reta representa é dita constante, pois $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=k$, onde $k$ é uma constante real.

No caso em que $m=\tan \left(\frac{\pi }{2}\right)$, temos uma reta vertical, definida como $x=k$, onde $k$ é uma constante real.

Definição

Seja $\theta$ um ângulo arbitrário formado entre a reta $y=mx+n$ e o eixo das abscissas e $(x_0,y_0)$ e $(x,y)$ dois pontos pertencentes à essa reta, o coeficiente angular $m$ é definido como:

$m=\tan \theta =\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

Declive de uma curva

Predefinição:Artigo principal Dada a curva $\mathrm{C}:y=f(x)$, seu declive no ponto $(x,f(x))$ é dado pela derivada $f^{\prime }(x)$, i.e. a inclinação da reta tangente no ponto considerado.

A derivada da função em um ponto arbitrário define o declive da reta tangente àquele ponto.

Equação fundamental da reta

A equação fundamental da reta é uma das três formas básicas da equação do primeiro grau (junto à equação reduzida e equação geral). Essa forma permite o cálculo de qualquer ponto $(x,y)$ da reta apenas sabendo seu coeficiente angular e um ponto $(x_0,y_0)$ definido. É obtida a partir da definição do coeficiente angular:

$m=\frac{y-y_0}{x-x_0}$

Multiplicando ambos os lados por $(x-x_0)$, obtemos a equação fundamental da reta:

$y-y_0=m(x-x_0)$Predefinição:Referências