Corpo perfeito

Predefinição:Ver desambig Em álgebra abstrata, um corpo perfeito é um corpo em que todo polinômio é separável.

Motivação

Quando são estudados polinômios com coeficientes racionais, um resultado elementar é que, se o polinômio tem alguma raiz múltipla, então ele não é irreducível. Generalizando este conceito, um polinômio p(x) em um corpo qualquer K é dito separável se todos os seus fatores irreducíveis tem apenas raízes simples.

Um contra-exemplo, ou seja, um polinômio irreducível que tem raízes múltiplas, só pode ser obtido em corpos infinitos de característica p > 0.

Seja $K={\mathbb{Z}}_p(y)$ o corpo de frações dos polinômios com coeficientes no corpo finito ${\mathbb{Z}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Então, no corpo $L=K(y^p)$, o polinômio $p(x)=x^p-y^p$ é irreducível, mas ele tem uma raiz, y, de multiplicidade p.