Aproximação WKB

Em física matemática, a aproximação WKB ou método WKB é um método de encontrar soluções aproximadas de equações diferenciais parciais com coeficientes variando no espaço. É geralmente utilizado para cálculos quase-clássicos na mecânica quântica, na qual a função de onda é reescrita como uma função exponencial, quase-classicamente expandida, e em seguida a amplitude ou a fase é variada lentamente.

O nome é um acrônimo para Wentzel-Kramers-Brillouin. Também é conhecido como o método LG ou método de Liouville-Green. Outras siglas, muitas vezes utilizadas para o método, são JWKB e WKBJ, onde o "J" significa Jeffreys.

Breve história

Este método tem esse nome em homenagem aos físicos Wentzel, Kramers, e Brillouin, que o desenvolveram em 1926. Em 1923, o matemático Harold Jeffreys tinha desenvolvido um método geral de aproximar soluções para equações diferenciais de segunda ordem lineares, que inclui a equação de Schrödinger. Porém, apesar de a equação de Schrödinger ter sido desenvolvida dois anos depois, Wentzel, Kramers e Brillouin aparentemente desconheciam esse trabalho anterior, de modo que Jeffreys muitas vezes não recebe créditos pelo método. A literatura do início da mecânica quântica contém um número de combinações de suas iniciais, incluindo WBK, BWK, WKBJ, JWKB e BWKJ.

As referências anteriores ao método são: Carlini em 1817, Liouville em 1837, George Green em 1837, Rayleigh em 1912 e Gans em 1915. Pode-se dizer que Liouville e Green são os criadores do método, em 1837, que também é comumente referido como o método Liouville-Green ou método LG.

A importante contribuição de Jeffreys, Wentzel, Kramers e Brillouin ao método foi a inclusão do tratamento dos pontos de retorno, que conectam as soluções evanescentes e oscilatórias em ambos os lados do ponto de retorno. Por exemplo, isso pode ocorrer na equação de Schrödinger, devido a um poço de energia potencial.

Método WKB

Geralmente, a aproximação WKB é um método para aproximar a solução de uma equação diferencial onde a derivada de maior ordem é multiplicada por um parâmetro ε pequeno. O método de aproximação é o seguinte:

Uma equação diferencial

$ϵ\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{d}{x}^n}+a(x)\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}y}{\mathrm{d}{x}^{n-1}}+\cdots +k(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+m(x)y=0$

deve admitir uma solução em forma de série assintótica de expansão

$y(x)\sim \exp [\frac{1}{\delta }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\delta }^n{S}_n(x)].$

No limite $\delta \to 0$. A substituição do ansatz acima na equação diferencial e o cancelamento dos termos exponenciais permitem que se resolva para um número arbitrário de termos $S_n(x)$ na expansão. A teoria WKB é um caso especial de análise em escala múltipla.

Um exemplo

Considere a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem

${ϵ}^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=Q(x)y,$

onde $Q(x)\ne 0$. Substituindo

$y(x)=\exp [\frac{1}{\delta }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\delta }^n{S}_n(x)]$

resulta na equação

${ϵ}^2[\frac{1}{{\delta }^2}{\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\delta }^n{S_n}^{\prime }\right)}^2+\frac{1}{\delta }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\delta }^n{S_n}^{″}]=Q(x).$

Como regra principal (assumindo, no momento, que a série será assintoticamente consistente), a expressão acima pode ser aproximada como

$\frac{{ϵ}^2}{{\delta }^2}{S}_0{\text{'}}^2+\frac{2{ϵ}^2}{\delta }{S_0}^{\prime }{S_1}^{\prime }+\frac{{ϵ}^2}{\delta }{S_0}^{″}=Q(x).$

No limite $\delta \to 0$,o termo dominante é dado por

$\frac{{ϵ}^2}{{\delta }^2}{S}_0{\text{'}}^2\sim Q(x).$

Assim, δ é proporcional a ε. Igualando-os e comparando as potências, temos

${ϵ}^0:S_0{\text{'}}^2=Q(x),$

que pode ser reconhecido como a equação eikonal, com solução

$S_0(x)=\pm \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\sqrt{Q(t)}dt.$

Comparando as potências de primeira ordem de $ϵ$, vem

${ϵ}^1:2{S_0}^{\prime }{S_1}^{\prime }+{S_0}^{″}=0.$

Esta é a equação de transporte unidimensional, que tem a solução

$S_1(x)=-\frac{1}{4}\log (Q(x))+k_1,$

onde $k_1$ é uma constante arbitrária. Agora temos um par de aproximações para o sistema (um par porque $S_0$ pode ser positivo ou negativo). A aproximação WKB de primeira ordem será uma combinação linear de:

$y(x)\approx c_1{Q}^{-\frac{1}{4}}(x)\exp \left[\frac{1}{ϵ}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\sqrt{Q(t)}dt\right]+c_2{Q}^{-\frac{1}{4}}(x)\exp [-\frac{1}{ϵ}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\sqrt{Q(t)}dt].$

Os termos de ordem superior podem ser obtidos comparando-se as equações para potências mais altas de ε. Explicitamente,

$2{S_0}^{\prime }{S_n}^{\prime }+S^{\prime }{\text{'}}_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S{\text{'}}_{j}S{\text{'}}_{n-j}=0,$

para $n>2$. Este exemplo vem do livro de Bender e Orszag (ver referências).

Precisão da série assintótica

A série assintótica para $y(x)$ em geral é uma série divergente cujo termo geral ${\delta }^n{S}_n(x)$ começa a aumentar após um certo valor $n=n_{\max }$. Portanto, o menor erro obtido pelo método WKB é, na melhor das hipóteses, da ordem do último termo incluído. Para a equação

${ϵ}^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=Q(x)y,$

com $Q(x)<0$ uma função analítica, o valor $n_{\max }$ e a magnitude do último termo podem ser estimados da seguinte forma (ver Winitzki 2005),

$n_{\max }\approx 2{ϵ}^{-1}\left|\underset{x_0}{\overset{x_{\ast }}{\int }}dz\sqrt{-Q(z)}\right|,$

${\delta }^{n_{\max }}{S}_{n_{\max }}(x_0)\approx \sqrt{\frac{2\pi }{n_{\max }}}\exp [-n_{\max }],$

onde $x_0$ é o ponto em que $y(x_0)$ precisa ser avaliado e $x_{\ast }$ é o ponto de retorno (complexo) onde $Q(x_{\ast })=0$, mais próximo de $x=x_0$. O número $n_{\max }$ pode ser interpretado como o número de oscilações entre $x_0$ e o ponto de retorno mais próximo. Se ${ϵ}^{-1}Q(x)$ é uma função que varia lentamente,

$ϵ\left|\frac{dQ}{dx}\right|\ll Q^2,$

o número $n_{\max }$ será grande, e o erro mínimo histórico da série assintótica será exponencialmente pequeno.

Aplicação à equação de Schrödinger

A equação de Schrödinger unidimensional e independente do tempo é

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\mathrm{\Psi }(x)+V(x)\mathrm{\Psi }(x)=E\mathrm{\Psi }(x),$

que pode ser reescrita como

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\mathrm{\Psi }(x)=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)\mathrm{\Psi }(x).$

A função de onda pode ser reescrita como a exponencial de outra função Φ(que está intimamente relacionada com a ação):

$\mathrm{\Psi }(x)=e^{\mathrm{\Phi }(x)},$

de modo que

${\mathrm{\Phi }}^{″}(x)+{[{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)]}^2=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E),$

onde ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$ indica a derivada de $\mathrm{\Phi }$ em relação a x. A derivada ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)$ pode ser separada em partes real e imaginária, introduzindo as funções reaisAeB

${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)=A(x)+iB(x).$

A amplitude da função de onda é então $\exp [{\int }^{x}A(x^{\prime })d{x}^{\prime }],$ enquanto que a fase é ${\int }^{x}B(x^{\prime })d{x}^{\prime }.$ As partes real e imaginária da equação de Schrödinger tornam-se, então

$A^{\prime }(x)+A(x{)}^2-B(x{)}^2=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E),$

$B^{\prime }(x)+2A(x)B(x)=0.$

Em seguida, faz-se a aproximação quase-clássica. Isto significa que cada função é expandida como uma série de potências em $\hslash$. A partir das equações, pode -se ver que a série de potências deve começar com pelo menos uma ordem de ${\hslash }^{-1}$ para satisfazer a parte real da equação. A fim de alcançar um bom limite clássico, é necessário começar com a potência mais alta possível da constante de Planck:

$A(x)=\frac{1}{\hslash }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\hslash }^n{A}_n(x),$

$B(x)=\frac{1}{\hslash }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\hslash }^n{B}_n(x).$

Para o termo de ordem zero, as condições sobre A e B podem ser escritas:

$A_0(x{)}^2-B_0(x{)}^2=2m(V(x)-E),$

$A_0(x)B_0(x)=0.$

Se a amplitude varia suficientemente lenta em comparação com a fase ($A_0(x)=0$), segue que

$B_0(x)=\pm \sqrt{2m(E-V(x))},$

que só é válida quando a energia total é maior do que a energia potencial, como sempre acontece no movimento clássico. Após o mesmo procedimento para o próximo termo, segue-se que

$\mathrm{\Psi }(x)\approx C_0\frac{e^{i\int \mathrm{d}x\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-V(x))}+\theta }}{\sqrt[4]{\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-V(x))}}.$

Por outro lado, se é a fase que varia lentamente (em comparação com a amplitude), ($B_0(x)=0$) e então

$A_0(x)=\pm \sqrt{2m(V(x)-E)},$

que só é válido quando a energia potencial é maior do que a energia total (o regime em que o tunelamento quântico ocorre). Encontrando os termos da expansão de próxima ordem

$\mathrm{\Psi }(x)\approx \frac{C_{+}{e}^{+\int \mathrm{d}x\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)}}+C_{-}{e}^{-\int \mathrm{d}x\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)}}.$

Decorre do denominador que ambas as soluções aproximadas tornam-se singulares próximas do ponto de retorno clássico, em que $E=V(x)$ e não podem ser mais válidas. Estas são as soluções aproximadas longe do potencial e abaixo do potencial. Longe do potencial, a partícula se move de maneira similar a uma onda viajante - a função de onda é oscilante. Abaixo do potencial, a partícula passa por variações exponenciais na amplitude.

Para completar a dedução, as soluções aproximadas devem ser encontradas em toda parte, e seus coeficientes devem ser combinados para construir-se uma única solução aproximada. A solução aproximada próxima aos pontos de retorno clássicos $E=V(x)$ ainda está para ser encontrada.

Para um ponto de retorno clássico $x_1$ e perto de $E=V(x_1)$, o termo $\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)$ pode ser expandido em uma série de potências.

$\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)=U_1(x-x_1)+U_2(x-x_1{)}^2+\cdots .$

Para a primeira ordem, temos

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\mathrm{\Psi }(x)=U_1(x-x_1)\mathrm{\Psi }(x).$

Esta equação diferencial é conhecida como equação de Airy, e a solução pode ser escrita em termos das funções de Airy:

$\mathrm{\Psi }(x)=C_A\text{Ai}(\sqrt[3]{U_1}(x-x_1))+C_B\text{Bi}(\sqrt[3]{U_1}(x-x_1)).$

Esta solução deve se conectar às soluções acima e abaixo. Dados os dois coeficientes de um dos lados do ponto de retorno clássico, os 2 coeficientes do outro lado do ponto de retorno clássico podem ser determinados por esta solução local que os conecta. Assim, uma relação entre $C_0,\theta$ and $C_{+},C_{-}$ pode ser encontrada.

Felizmente, as funções de Airy tendem assintoticamente ao seno, cosseno e funções exponenciais dos limites próprios. A relação pode ser encontrada como sendo da seguinte forma (muitas vezes referida como "fórmulas de conexão"):

$\begin{array}{cc}{C}_{+}& =+\frac{1}{2}{C}_0\cos (\theta -\frac{\pi }{4}),\\ C_{-}& =-\frac{1}{2}{C}_0\sin (\theta -\frac{\pi }{4}).\end{array}$

Agora as soluções totais (aproximadas) podem ser construídas.

Ver também

• Função de Airy
• Radiação
• Método de Laplace
• Teoria de Perturbações
• Tunelamento

Referências

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Referências atuais

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Referências históricas

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Ligações externas

• Predefinição:Citar web (An application of the WKB approximation to the scattering of rádio waves from the ionosphere.)