Função de covariância

Predefinição:Sem notas Função de covariância, ou simplesmente covariância, refere-se, no campo da geoestatística a uma medição da continuidade espacial de dado fenómeno à semelhança do seu análogo variograma. Pretende assim estudar a variabilidade de uma variável re-amostrando uma população para conter apenas os pares de pontos que se encontrem a uma dada distância $h$. É utilizada especialmente em estudos onde se justifique um variograma experimental (método gráfico que considera o valor de variograma ou semi-variograma para várias distâncias) calculando a covariância directamente ou a partir do valor do variograma.

Definição

O estimador de covariância não centrada é dado pela média do produto de amostras que se encontram à distância de $h$ (Soares, 2006):

$C^{\prime }(h)=\frac{1}{N(h)}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}[Z(x_{\alpha })Z(x_{\alpha }+h)]$

Para obter o estimador centrado precisamos subtrair o produto das médias das amostra que se encontrem nos pares distânciados por $h$:

$C^{\prime }(h)=\frac{1}{N(h)}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}[Z(x_{\alpha })Z(x_{\alpha }+h)-m(x_{\alpha })m(x_{\alpha }+h)]$

Onde:

$m(x_{\alpha })=\frac{1}{N(h)}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}Z(x_{\alpha })$

e,

$m(x_{\alpha }+h)=\frac{1}{N(h)}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}Z(x_{\alpha }+h)$

A função covariância está directamente ligada com o variograma no qual sabendo que a covariância centrada é dada por:

$C(h)=E[Z(x)Z(x+h)]-E[Z(x)]E[Z(x+h)]$

e que o variograma é dado por:

$\gamma (h)=\frac{1}{2}E[(Z(x)-Z(x+h){)}^2]$

Assumindo que a média é igual para todas as populações $Z(x)$ e $Z(x)$ (portanto uma função aleatória estacionária, conceito generalizado da série estacionária):

$C(h)=E[Z(x)Z(x+h)]-E[Z(x){]}^2$

Se desenvolvermos os termos do quadrado do variograma ficamos com:

$\gamma (h)=\frac{1}{2}\{E[Z(x){]}^2+E[Z(x+h){]}^2-2E[Z(x)Z(x+h)]\}$

Mais uma vez admitindo a estacionariedade das populações ficamos com:

$\gamma (h)=\frac{1}{2}\{E[Z(x){]}^2-E[Z(x)Z(x+h)]\}$

Subtraindo $m^2$ a cada um dos termos:

$\gamma (h)-m^2=E[Z(x){]}^2-E[Z(x)Z(x+h)]-m^2$

$\gamma (h)=E[Z(x){]}^2-m^2-E[Z(x)Z(x+h)]+m^2$

$\gamma (h)=E[Z(x){]}^2-m^2-(E[Z(x)Z(x+h)]-m^2)$

deduz-se que:

$\gamma (h)=-(E[Z(x)Z(x+h)]-m^2)=-C(h)$

da qual para evitar ajustes com patamar, $C(0)$, negativo se utiliza a expressão:

$\gamma (h)=C(0)-C(h)$

Por esse motivo se nota, no formato gráfico, a covariância ser o exacto oposto do variograma:

Discussão

Em geoestatística são usadas habitualmente três funções para estudar a variabilidade espacial da amostragem que são: covariância, correlograma, e semi-variograma (comumente designado variograma). Na hipótese de estacionaridade da variável, as três funções são equivalentes: deduzem-se umas a partir das outras e dão a mesma informação sobre o comportamento espacial da variável. A figura seguinte mostra o variograma experimental, covariância e correlograma para o mesmo conjunto de dados:

Ver também

• Variograma
• Função correlograma
• Variograma cruzado
• Variograma de indicatriz

Predefinição:Referências