Lema de Fodor

Em matemática, especialmente na teoria dos conjuntos, o lema de Fodor afirma o seguinte:

Se $\kappa$ é um regular cardinal enumerável, $S$ é um sub-conjunto estacionário de $\kappa$ , e $f:S\to \kappa$ é regressivo (isto é, $f(\alpha )<\alpha$ para qualquer $\alpha \in S$, $\alpha \ne 0$) então há alguma $\gamma$ e algum estacionário $S_0\subseteq S$ de forma que $f(\alpha )=\gamma$ para qualquer $\alpha \in S_0$. Em linguagem moderna, o não-estacionário ideal é "normal".

Prova

O lema foi provado pelo teórico de conjunto húngaro, Géza Fodor em 1956.

Nós podemos supor que $0\notin S$ (através da remoção de 0, se necessário). Se o lema de Fodor é falso, para cada $\alpha <\kappa$ há algum conjunto clubePredefinição:Nota de rodapé $C_{\alpha }$ de forma que $C_{\alpha }\cap f^{-1}(\alpha )=\mathrm{\varnothing }$ permita $C={\mathrm{\Delta }}_{\alpha <\kappa }{C}_{\alpha }$.

Os conjuntos clube são fechados sob a intersecção diagonal, assim $C$ também é clube e, portanto, há algum $\alpha \in S\cap C$. Assim $\alpha \in C_{\beta }$ para cada $\beta <\alpha$, e assim não pode existir $\beta <\alpha$ such that $\alpha \in f^{-1}(\beta )$, então $f(\alpha )\ge \alpha$, uma contradição. O Lema de Fodor também se aplica na noção de Thomas Jech de conjuntos estacionários, bem como para a noção geral de conjunto estacionário.

Ver também

• Géza Fodor