Método de Castigliano

O método de Castigliano, devido a Carlo Alberto Castigliano, é um método para determinar os deslocamentos de um sistema linear elástico baseado em derivadas parciais da energia de deformação.

O conceito básico pode ser facilmente entendido, observando que uma mudança em energia é igual à força causadora multiplicada pelo deslocamento (pela equivalência trabalho/energia) resultante. Portanto, a força causadora é igual à mudança de energia dividida pelo deslocamento resultante. Alternativamente, o deslocamento resultante é igual à mudança de energia dividida pela força causadora. As derivadas parciais são necessárias para relacionar as forças causadoras e o deslocamento resultante com a mudança de energia.

Primeiro teorema de Castigliano

Aplicável para forças em uma estrutura elástica. O método de Castigliano para calcular forças é uma aplicação de seu primeiro teorema, que estabelece:

Se a energia de deformação de uma estrutura elástica pode ser expressa como uma função do deslocamento generalizado q_i, então a derivada parcial da energia de deformação em relação ao deslocamento generalizado fornece a força generalizada Q_i.

Na forma de uma equação,

$Q_i=\frac{\partial 𝐔}{\partial q_i}$

sendo U a energia de deformação.

Segundo teorema de Castigliano

Aplicável para deslocamentos em uma estrutura elástica linear. O método de Castigliano para calcular deslocamentos é uma aplicação de seu segundo teorema, que estabelece:

Se a energia de deformação de uma estrutura linear elástica pode ser expressa como uma função da força generalizada Q_i, então a derivada parcial de energia de deformação em relação à força generalizada fornece o deslocamento generalizado q_i na direção de Q_i.

Na forma de uma equação,

$q_i=\frac{\partial 𝐔}{\partial Q_i}.$

Exemplo

Para uma viga de Euler-Bernoulli engastada com uma carga P na extremidade livre, o deslocamento $\delta$ na extremidade livre pode ser determinado pelo segundo teorema de Castigliano:

$\delta =\frac{\partial 𝐔}{\partial P}$

$\delta =\frac{\partial }{\partial P}\underset{0}{\overset{L}{\int }}\frac{[M(x){]}^2}{2EI}dx=\frac{\partial }{\partial P}\underset{0}{\overset{L}{\int }}\frac{[Px{]}^2}{2EI}dx$

sendo E o módulo de elasticidade, I o momento de inércia da seção transversal e M(x)=P.x a expressão do momento interno na distância x do ponto de engaste da viga. Portanto,

$=\underset{0}{\overset{L}{\int }}\frac{P{x}^2}{EI}dx$

$=\frac{P{L}^3}{3EI}.$

Este resultado é exatamente a expressão conhecida para o deslocamento máximo de uma viga engastado com uma carga concentrada em sua extremidade livre.

Ligações externas

• Predefinição:MacTutor Biography
• Castigliano's theorems module of Wikibooks
• Castigliano's method: some examples – German language page
• Castigliano's method: some examples – Google's translation of the above German language page