Princípio da Escolha Dependente

Em matemática, mais especificamente em teoria dos conjuntos, o Princípio da Escolha Dependente ou Axioma da Escolha Dependente (abreviado DC, do inglês Dependent Choice) afirma que, dados um conjunto não-vazio $A$ e uma relação binária $R \subseteq A \times A$ sobre $A$ que satisfaz a condição de que para todo $x \in A$ existe $y \in A$ para o qual $⟨ x, y ⟩ \in R$ , existe uma seqüência $⟨ x_{n} ⟩_{n \in ω}$ de elementos de $A$ tal que $⟨ x_{i}, x_{i + 1} ⟩ \in R$ para todo $i \in ω$ . Em linguagem simbólica de primeira ordem, temos

\forall A ((\exists R (R \subseteq A \times A \land \forall x (x \in A \to \exists y (y \in A \land ⟨ x, y ⟩ \in R))) \to \exists ⟨ x_{n} ⟩_{n \in ω} (\forall i (i \in ω \to ⟨ x_{i}, x_{i + 1} ⟩ \in R))))

Alguns Resultados Relevantes

O princípio da escolha dependente é demonstrável em ZF, admitindo o axioma da escolha; com efeito, seja $A$ um conjunto não-vazio e $R \subseteq A \times A$ uma relação binária sobre $A$ satisfazendo

\forall x (x \in A \to \exists y (y \in A \land ⟨ x, y ⟩ \in R)) .

Dado $x \in A$ , defina $r (x) = {y \in A : ⟨ x, y ⟩ \in R}$ ; da hipótese, temos $r (x) \neq \emptyset$ . Tome a família $⟨ r (x) ⟩_{x \in A}$ , admitindo o axioma da escolha, existe uma função

f : A \to ⋃_{x \in A} r (x)

satisfazendo $f (x) \in r (x)$ para cada $x \in A$ . É evidente, portanto, que $⟨ f^{n} (x) ⟩_{n \in ω}$ satisfaz $⟨ f^{i} (x), f^{i + 1} (x) ⟩ \in R$ para todo $i \in ω$ e todo $x \in A$ .

Porém, DC não implica o axioma da escolha^[1] , sendo portanto uma forma mais fraca de AC. É evidente que DC implica o Axioma da Escolha Enumerável, AC $_{ω}$ ; com efeito seja $⟨ A_{n} ⟩_{n \in ω}$ uma família enumerável de conjuntos não-vazios; defina

S_{n} = {s \in (⋃_{k = 0}^{n} A_{k})^{n} : π_{i} (s) \in A_{i}, \forall i \leq n}

Onde $π_{i}$ é a projeção à i-ésima coordenada. Defina também

S = ⋃_{n \in ω} S_{n}

Assim, seja $R \subseteq S \times S$ tal que, dados $s, t \in S$ , $⟨ s, t ⟩ \in R$ se, e somente se, existir $n \in ω$ para o qual tenhamos $s \in S_{n}$ , $t \in S_{n + 1}$ e $π_{i} (s) = π_{i} (t)$ para todo $i \leq n$ , isto é

\forall s \forall t (((s \in S) \land (t \in S)) \to (⟨ s, t ⟩ \in R \leftrightarrow \exists n ((n \in ω) \land (s \in S_{n}) \land (t \in S_{n + 1}) \land (\forall i (i \in n \cup {n} \to (π_{i} (s) = π_{i} (t))))))) .

É evidente que $R$ satisfaz

\forall x (x \in S \to \exists y (y \in S \land ⟨ x, y ⟩ \in R)) .

Portanto, existe uma seqüência $⟨ s_{n} ⟩_{n \in ω}$ tal que

⟨ s_{i}, s_{i + 1} ⟩ \in R

para todo natural $i$ . Basta agora definir $f : ω \to ⋃ A_{n}$ por $f (i) = π_{i} (s_{i})$ . É evidente que $f$ é uma função escolha em $⟨ A_{n} ⟩_{n \in ω}$ .

Outra aplicação importante do princípio da escolha dependente é na demonstração do Lema de Urysohn e do Teorema de Baire ^[2]. De fato, Charles E. Blair demonstrou em 1977 ^[3] que o Teorema de Baire é equivalente a DC, isto é

Z F + D C \leftrightarrow Z F + (Teorema de Baire) .

Predefinição:Referências

Bibliografia

Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

Predefinição:Teoria dos conjuntos Predefinição:Portal3

↑ Thomas Jech, The Axiom of Choice, Dover Publications, 2008, ISBN-13: 978-0486466248.
↑ Ambos não prováveis em ZF; ver Consequences of the Axiom of Choice Predefinição:Wayback, forma 78.
↑ Blair, Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 25 (1977), no. 10, 933--934.

[1] Thomas Jech, The Axiom of Choice, Dover Publications, 2008, ISBN-13: 978-0486466248.

[2] Ambos não prováveis em ZF; ver Consequences of the Axiom of Choice Predefinição:Wayback, forma 78.

[3] Blair, Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 25 (1977), no. 10, 933--934.

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[2]

[3]

Princípio da Escolha Dependente

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