Soluções de equações diferenciais

A Transformada de Laplace é muito utilizada como método para resolver equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes, com coeficientes variáveis, para equações diferenciais ordinárias simultâneas (sistemas de equações diferenciais), para equações diferenciais parciais e demais variações. Portanto, pode ser aplicada na resolução de diferentes problemas de engenharia. De modo genérico, o processo para resolver as equações diferenciais segue 3 etapas:

1. Transformar a equação do problema em uma equação algébrica. Esta nova equação obtida é denominada Equação subsidiária.
2. Manipular a equação subsidiária obtida e resolvê-la.
3. Encontrar a solução da equação diferencial através da Transformada de Laplace Inversa.

Este procedimento de transformar um problema de cálculo em um problema algébrico é chamado de Cálculo Operacional e dentre as vantagens principais deste método estão dois pontos importantes:

• Resolução de forma mais direta dos problemas de valor inicial. Por exemplo, no caso de equações diferenciais ordinárias não homogêneas não há necessidade de resolver previamente a equação diferencial ordinária homogênea correspondente.
• É aplicado para problemas que envolvem descontinuidades, impulsos ou funções periódicas com facilidade devido à função Degrau Unitário e o Delta de Dirac.

Seguem abaixo algumas aplicações da Transformada de Laplace para resolução de problemas no campo da Engenharia.

Aplicação às Vigas

A equação diferencial que rege este problema é:

$\frac{d^{4}y(x)}{d{x}^4}=\frac{W(x)}{EI}$

Onde I é o momento de inércia da viga e o E é o módulo de Young. E W(x) representa a carga e é dado por:

$W(x)=P_0\delta (x-\frac{L}{3})$

Aplicando a Transformada de Laplace temos:

$ℒ\{\frac{d^{4}y(x)}{d{x}^4}\}=ℒ\{\frac{W(x)}{EI}\}$

$s^{4}Y(s)-s^{3}y(0)-s^2{y}^{\prime }(0)-s{y}^{″}(0)-y^{‴}(0)=\frac{P_0}{EI}{e}^{\frac{-L}{3}s}$

Resolvendo algebricamente e considerando os valores iniciais:

$y(0)=y^{\prime }(0)=0,y^{″}(0)=C_{1}e{y}^{‴}(0)=C_2$

Obtemos a seguinte equação:

$Y(s)=\frac{C_1}{s^3}+\frac{C_2}{s^4}+\frac{P_0}{EI}\frac{e^{\frac{-L}{3}s}}{s^4}$.

Aplicando a transformada inversa de Laplace, encontramos a expressão para y(x):

$y(x)=\frac{C_1}{2!}{x}^2+\frac{C_2}{3!}{x}^3+\frac{P_0}{EI}\frac{(x-L/3{)}^3}{3!}u(x-L/3)$.

Aplicando as outras duas condições iniciais disponíveis: y(L) = 0 e y'(L)=0, descobre-se as duas constantes e encontra-se a solução final do problema. Se considerarmos L=5, o gráfico da solução é dado pela figura 1.

Aplicação Reação Química

Este exemplo traz um sistema de equações diferenciais ordinárias para ser resolvido de forma simples, pelo método da Transformada de Laplace. Considera-se um mecanismo simplificado:
R→I→P
Podemos representar as concentrações como:

$r^{\prime }(t)=-2r(t)$.

$i^{\prime }(t)=2r(t)-4i(t)$.

$p^{\prime }(t)=4i(t)$.

Considerando α=2 e γ=4 como constantes positivas conhecidas e as condições iniciais de r(0)=1, i(0)=p(0)=0, calculamos a transformada de Laplace para cada uma das equações:

$ℒ\{r^{\prime }(t)\}=sR(s)-r(0)=-2R(s)$.

$ℒ\{i^{\prime }(t)\}=sI(s)-i(0)=2R(s)-4I(s)$.

$ℒ\{p^{\prime }(t)\}=sP(s)-p(0)=4I(s)$.

Resolvendo algebricamente cada uma das equações, com as respectivas substituições, obtemos:

$R(s)=\frac{1}{s+2}$.

$I(s)=\frac{2}{(s+2)(s+4)}$.

$P(s)=\frac{4}{s(s+2)(s+4)}$.

Agora, calcula-se a transformada inversa de Laplace e encontra-se as soluções r(t),i(t) e p(t).

$r(t)=e^{-2t}$.

$i(t)=-e^{-2t}+e^{-4t}$.

$p(t)=2e^{-2t}-e^{-4t}-1$.

Aplicação para Oscilador Harmônico

Um oscilador harmônico sujeito a uma força pontual periódica.

Esta força pode ser representada por uma função Delta de Dirac, com isso a equação do oscilador é:

$y^{″}+y=4\delta (t-2\pi )$

$y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$.

Aplicando Transformada de Laplace dos dois lados temos

$ℒ\{y^{″}+y\}=ℒ\{4\delta (t-2\pi )\}$

$S^{2}Y(S)-Sy(0)-y^{\prime }(0)+Y(S)=4e^{-2S\pi }$

Assim,

$Y(s)=\frac{s}{s^2+1}+\frac{4e^{2\pi s}}{s^2+1}$.

Agora aplicando a transformada inversa dos dois lados

$y(t)=cos(t)+4sen(t-2\pi )U(t-2\pi )$.

Na qual $U(t-2\pi )$. é uma função degrau ou Função de Heaviside.

Aplicação para molas

Molas Acopladas

Duas massas $m_1$ e $m_2$ estão presas a duas molas de massas desprezíveis, com constantes elásticas $k_1$ e $k_2$ respectivamente.

Sejam $x_1(t)$ e $x_2(t)$ os deslocamentos verticais das massas em relação a posição de equilíbrio, temos que o alongamento da mola B será $x_2-x_1$

Pela segunda lei de Newton temos

$m_1\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}=-k_1{x}_1+k_2(x_2-x_1)\text{e}$

$m_2\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}=-k_2(x_2-x_1)$

A solução desse problema via transformada integral se torna simples, pois através dela o problema se torna equivalente a um sistema de equações lineares.

EXEMPLO:

Sendo $k_1=6$, $k_2=4$ e $m_1=m_2=1$, e dado que

$x_1(0)=x_2(0)=0$ e $x{\text{'}}_1(0)=-x{\text{'}}_2(0)=1$ (condições)

Temos as seguintes EDO’s:

$x^{\prime }{\text{'}}_1+10x_1-4x_2=0$

$x^{\prime }{\text{'}}_2-4x_1+4x_2=0$

Aplicando transformada de Laplace nas duas equações temos:

$s^2{X}_1(s)-s{x}_1(0)-x{\text{'}}_1(0)+10X_1(s)-4X_2(s)=0$

$s^2{X}_2(s)-s{x}_2(0)-x{\text{'}}_2(0)+4X_2(s)-4X_1(s)=0$

Agora simplesmente resolvendo o sistema temos Utilizando as condições dadas em (condições)

$X_1=\frac{s^2}{(s^2+2)(s^2+12)}=-\frac{1/5}{s^2+2}+\frac{6/5}{s^2+12}$

Assim aplicando a transformada inversa temos:

$x_1=-\frac{\sqrt{2}}{5}sen\sqrt{2}t+\frac{\sqrt{3}}{5}sen2\sqrt{3}t$.

Encontrando $X_2$ utilizando $X_1$ encontrado anteriormente temos:

$X_2=-\frac{2/5}{s^2+2}-\frac{3/5}{s^2+12}$,

portanto, aplicando a transformada inversa, temos:

$x_2=-\frac{\sqrt{2}}{5}sen\sqrt{2}t-\frac{\sqrt{3}}{10}sen2\sqrt{3}t$.