Número feliz

Os números felizes são definidos pelo seguinte procedimento. Começando com qualquer número inteiro positivo, o número é substituído pela soma dos quadrados dos seus dígitos, e repetir o processo até que o número seja igual a 1 ou até que ele entre num ciclo infinito que não inclui um ou seja a soma dos quadrados dos algarismos do quadrado de um número positivo inicial. Os números no fim do processo de extremidade com 1, são conhecidos como números felizes, mas aqueles que não terminam com um 1 são números chamados infelizes.

Definição

Mais formalmente, dado um número $n=n_0$, Define uma seqüência $n_1$, $n_2$, ... onde $n_{i+1}$ é a soma dos quadrados dos dígitos $n_i$. Então $n$ é feliz se e somente se existe i tal modo que $n_i=1$.

Exemplos

7 é um número feliz:

7² = 49

4² + 9² = 97

9² + 7² = 130

1² + 3² + 0² = 10

1² + 0² = 1.

Se $n$ não é feliz, a soma dos quadrados nunca dará 1, serão gerados infinitos termos.

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Os números felizes entre 1 e 500 são:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490 e 496.

Bibliografia

• Dudeney, H. E. Problem 143 in 536 Puzzles & Curious Problems. New York: Scribner, pp. 43 and 258-259, 1967.
• Guy, Richard (2004). Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-20860-7
• Guy, Richard "Happy Numbers." §E34 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 234-235, 1994.
• Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, pp. 163-165, 1979.
• Porges, A. "A Set of Eight Numbers." Amer. Math. Monthly 52, 379-382, 1945.

Ligações externas

• Predefinição:Link