Potenciais de Liénard-Wiechert

Predefinição:Multitag Os potenciais de Liènard-Wiechert são a descrição matemática clássica dos potenciais escalar e vetorial de uma carga pontual em movimento. Sua derivação se origina das equações de Maxwell e portanto não é válida no domínio da mecânica quântica.

Potenciais retardados

Pode-se fazer cálculo para determinar os potenciais gerados por uma distribuição qualquer de cargas no espaço, dependentes do tempo. Nesta demonstração, chegamos a conclusão de que os potenciais gerador por uma distribuição dependente do tempo, em um ponto r, num instante de tempo t dependem desta distribuição num instante anterior que é denominado na literatura de tempo retardado. Escrevemos para o potencial elétrico:

$\phi (𝐫,t)=\int \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$

Aqui, $\rho$ é a densidade de cargas avaliada no tempo retardado $t_r$ e ${𝐫}^{\prime }$ é posição das cargas. O tempo retardado é definido como:

$t=t_r+\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}$

Ou seja, o tempo retardado é devido a um tempo de propagação finito com velocidade c (velocidade da luz), e $|𝐫-{𝐫}^{\prime }|/c$ é o tempo que o sinal levou para se propagar até o ponto $𝐫$. Note que ${𝐫}^{\prime }$ deve ser avaliado no tempo retardo também. Analogamente, podemos escrever para o potencial vetor magnético:

$𝐀(𝐫,t)=\int \frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{𝐉({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$

Onde $𝐉$ é densidade volumétrica de corrente. É possível particularizar para os casos em 1 e 2 dimensões. Estes são os chamados potenciais retardados de uma distribuição de cargas e correntes.

Demonstração dos potenciais de Liènard-Wiechert

Estamos em condições de deduzir os potenciais de Liènard-Wiechert para uma carga pontual q em movimento, partindo dos potenciais retardados. O problema se torna muito simples com o uso da função delta de Dirac ($\delta (x)$), que tem a seguinte propriedade:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x)dx=1$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\delta (x-x_0)dx=f(x_0)$

Primeiramente, vamos utilizar estas ideias para escrever a densidade de cargas no instante $t_r$.

$\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)=\int d{t}^{\prime }\rho ({𝐫}^{\prime },t^{\prime })\delta (t^{\prime }-t_r)$

Sendo a carga na posição $𝐰$ no tempo $t_r$, escrevemos a densidade de cargas na forma:

$\rho ({𝐫}^{\prime },t^{\prime })=q\delta ({𝐫}^{\prime }\mathbf{-}𝐰)$

Inserindo estas definições na integral para o potencial elétrico, obtemos:

$\phi (𝐫,t)=\int \int \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q\delta ({𝐫}^{\prime }\mathbf{-}𝐰)\delta (t^{\prime }-t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }d{t}^{\prime }$

As funções Delta nos permite eliminar as integrais e após alguns passos não triviais, obtemos:

$\phi (𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{qc}{c|𝐫-𝐰|-(𝐫-𝐰)\cdot 𝐯}$

Onde $𝐯$ é a velocidade da partícula e definida como $𝐯:=\frac{d𝐰}{dt}$. Obtemos assim o potencial elétrico para uma carga pontual. Este é um dos potenciais de Liènard-Wiechert. O potencial vetor pode ser deduzido de maneira análoga, notando que este pode ser escrito na forma:

$𝐀(𝐫,t)=\int \frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{𝐯\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$

Adotando os mesmos passos, obtemos:

$𝐀\mathbf{(}𝐫,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{qc𝐯}{c|𝐫\mathbf{-}𝐰|-(𝐫\mathbf{-}𝐰)\cdot 𝐯}$

A dedução dos potenciais está completa. Podemos fazer uma relação bem simples entre os dois:

$𝐀\mathbf{(}𝐫,t)=\frac{𝐯}{c^2}\phi (𝐫,t)$

Lembrando que $𝐯$ e $𝐰$ devem ser avaliados no tempo retardado. Escrito desta forma, fica evidente que o potencial vetor tem a mesma direção da velocidade da partícula.

[1] D. Griffiths, Introduction to Electrodynamics;

[2] John R. Reitz, Foudantions of Electromagnetism;

[3] Melvin Schwartz, Principles of Electrodynamics;