Wavelet de Meyer

A wavelet Meyer é uma wavelet ortogonal proposta por Yves Meyer. Ela é indefinidamente derivável com suporte infinito e definida no domínio da frequência em termos de uma função auxiliar $\nu$ como:

$\mathrm{\Psi }(\omega ):=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sin \left(\frac{\pi }{2}\nu (\frac{3|\omega |}{2\pi }-1)e^{j\omega /2}\right)& \text{se }2\pi /3<|\omega |<4\pi /3,\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cos \left(\frac{\pi }{2}\nu (\frac{3|\omega |}{4\pi }-1)e^{j\omega /2}\right)& \text{se }4\pi /3<|\omega |<8\pi /3,\\ 0& \text{caso contrário},\end{array}$

em que:

$\nu (x):=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }x<0,\\ x& \text{if }0<x<1,\\ 1& \text{if }x>1.\end{array}$

Há muitas maneiras de definir esta função auxiliar, cada uma delas resultando em uma variante da família de wavelets de Meyer. Por exemplo, outra implementação considera

$\nu (x):=\{\begin{array}{cc}{x}^4(35-84x+70x^2-20x^3)& \text{se }0<x<1,\\ 0& \text{caso contrário}.\end{array}$

Espectro da wavelet de Meyer.

A função de escala correspondente a esta wavelet é:

$\mathrm{\Phi }(\omega ):=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}& \text{se }|\omega |<2\pi /3,\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cos \left(\frac{\pi }{2}\nu (\frac{3|\omega |}{2\pi }-1)e^{j\omega /2}\right)& \text{se }2\pi /3<|\omega |<4\pi /3,\\ 0& \text{caso contrário}.\end{array}$

Função de escala de Meyer.

No domínio do tempo, a forma de onda da wavelet-mãe de Meyer tem a forma mostrada na seguinte figura:

wavelet de Meyer.

Notas e referências

• Meyer (Y.), Ondelettes et Opérateurs, Hermann, 1990.
• Daubechies, (I.), Ten lectures on wavelets, CBMS-NSF conference series in applied mathematics, SIAM Ed., pp. 117–119, 137, 152, 1992.

Ligações externas

• wavelet toolbox
• Matlab implementation