Fórmulas de Newton-Cotes

Em Análise numérica, as Fórmulas de Newton-Cotes, também chamadas de Regras de Quadratura de Newton-Cotes, ou simplesmente Regras de Newton-Cotes, são um grupo de fórmulas para Integração numérica (também chamadas de Quadratura) baseadas na avaliação do integrante em pontos igualmente espaçados. Foram batizadas em homenagem a Isaac Newton e Roger Cotes.

As fórmulas de Newton-Cotes podem ser úteis se o valor do integrante, em pontos igualmente espaçados, é fornecido. Se for possível trocar os pontos nos quais o integrante é avaliado, então outros métodos, como Quadratura Gaussiana e Quadratura de Clenshaw–Curtis são, provavelmente, mais adequados.

Descrição

Assume-se que o valor da função ƒ, definida entre [a, b] é conhecido, em pontos x_i entre i = 0, …, n igualmente espaçados, onde x₀ = a e x_n = b. Existem dois tipos de Fórmulas Newton–Cotes, as "fechadas" que utilizam o valor da função em todos os pontos, e as "abertas", que não utilizam os valores da função nas extremidades. A fórmula de Newton–Cotes, de grau n é definida como:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \sum_{i = 0}^{n} w_{i} f (x_{i})

Onde Predefinição:Nowrap, com h (tamanho do passo) igual a Predefinição:Nowrap. Os w_i são chamados de pesos.

Como demonstrado na derivação seguinte, os pesos são derivados das bases polinomiais de Lagrange. Isto significa que eles dependem apenas de x_i e não da função ƒ. Sendo L(x) a interpolação polinomial em Lagrange para os pontos dados Predefinição:Nowrap, então:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} L (x) d x = \int_{a}^{b} (\sum_{i = 0}^{n} f (x_{i}) l_{i} (x)) d x = \sum_{i = 0}^{n} f (x_{i}) \underset{w_{i}}{\underset{⏟}{\int_{a}^{b} l_{i} (x) d x}} .

A fórmula de Newton-Cotes aberta, de grau n é definida como:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \sum_{i = 1}^{n - 1} w_{i} f (x_{i}) .

Os pesos são encontrados de maneira similar á fórmula fechada.

Instabilidade para graus mais elevados

Uma fórmula de Newton-Cotes de qualquer grau n pode ser construída. Porém, para n elevados, a regra de Newton-Cotes pode sofrer do Fenômeno de Runge, onde erros aumentam exponencialmente para n elevados. Métodos como a Quadratura Gaussiana e a Quadratura de Clenshaw-Curtis com pontos espaçados de maneira desigual (acumulados nas extremidades do intervalo de integração) são estáveis e muito mais precisos, e são geralmente escolhidos no lugar de Newton-Cotes. Se estes métodos não podem ser utilizados, porque o integrante é dado em uma grade igualmente distribuída, o Fenômeno de Rungue pode ser evitado utilizando a regra composta, como explicado a seguir.

Fórmula de Newton Cotes fechada

Esta tabela lista algumas das Fómulas de Newton-Cotes do tipo fechadas. A notação $f_{i}$ é a abreviação de $f (x_{i})$ , com x_i = Predefinição:Nowrap,, e n graus.

**Fórmulas de Newton–Cotes Fechadas**
Grau	Nome usual	Fórmula	Termo de erro
1	Regra do Trapézio	$\frac{b - a}{2} (f_{0} + f_{1})$	$- \frac{(b - a)^{3}}{12} f^{(2)} (ξ)$
2	Regra de Simpson	$\frac{b - a}{6} (f_{0} + 4 f_{1} + f_{2})$	$- \frac{(b - a)^{5}}{2880} f^{(4)} (ξ)$
3	Regra 3/8 de Simpson	$\frac{b - a}{8} (f_{0} + 3 f_{1} + 3 f_{2} + f_{3})$	$- \frac{(b - a)^{5}}{6480} f^{(4)} (ξ)$
4	Regra de Boole	$\frac{b - a}{90} (7 f_{0} + 32 f_{1} + 12 f_{2} + 32 f_{3} + 7 f_{4})$	$- \frac{(b - a)^{7}}{1935360} f^{(6)} (ξ)$

O expoente do segmento de tamanho b - a no termo de erro mostra a taxa com a qual o erro de aproximação diminui. A derivada de ƒ no termo do erro mostra que polinômios podem ser integrados exatamente (por exemplo, com erro igual a zero). Note que a derivada de ƒ no termo do erro aumenta em 2 para cada outra regra. O número $ξ$ está entre a e b.