Sistema dinâmico contínuo

Um sistema dinâmico contínuo é um sistema dinâmico cujo estado evolui ao longo do espaço de estado continuamente de acordo com uma regra fixa.

Usaremos a notação abreviada $\dot{x}$, $\ddot{x}$, $\dots$ para representar as derivadas, em ordem ao tempo, de uma função $x(t)$ que depende do tempo, e $y^{\prime }$, $y^{″}$, $\dots$ para representar as derivadas de uma função $y(x)$ que depende de $x$.

Consideremos, por exemplo:

$\dot{x}=\frac{dx}{dt}\ddot{x}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}{y}^{\prime }=\frac{dy}{dx}{y}^{″}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

Equações diferenciais de primeira ordem

Uma equação diferencial ordinária ou em forma abreviada, EDO é uma equação que envolve uma função de uma única variável, por exemplo, $y(x)$, e as suas derivadas; a variável $x$ pode aparecer também na equação.

Se a única derivada que aparece na equação for a derivada de primeira ordem, a equação é designada por equação diferencial ordinária de primeira ordem. Assim, a forma geral das EDO de primeira ordem é $F(x,y,y^{\prime })=0$, mas vamos considerar unicamente as equações que possam ser escritas como uma ou mais equações da forma

$y^{\prime }=f(x,y)$

Dois exemplos de EDO de primeira ordem são os seguintes:

$\begin{array}{ccc}& & y^{\prime }y\cos (x)=3x{y}^2\sin (y)\\ & & \dot{y}=3\mathrm{-}\mathrm{5}\mathrm{y}-y\end{array}$

a função em questão, $y$ nos dois casos, é chamada variável dependente. A variável da qual depende a função é designada de variável independente.

Na primeira equação acima, a variável independente é $x$. No segundo caso, a variável independente não aparece na equação, mas a partir da derivada $\dot{y}$ torna-se evidente que a variável independente é $t$.

Uma solução de uma EDO, num dado intervalo, é qualquer função $f$ de uma variável que verifique a equação, quando substituída pela variável dependente.

Campo de direções

Campo de direções da equação y' = y + x , e a solução que passa pelo ponto o (x0,y0)

É possível descobrir muita informação importante sobre as soluções da equação como a partir de uma análise geométrica simples da função

$f(x,y)$.

A função $f(x,y)$ define, em cada ponto do plano $(x,y)$, o declive que deverá ter uma função $y(x)$ que seja solução da EDO.

O campo de direções é um gráfico do plano $(x,y)$, onde em alguns pontos aparece um vector com declive igual ao valor de $f(x,y)$ nesse ponto. Assim, as soluções da equação diferencial deverão ser as curvas tangentes a esses vectores. Por exemplo, A figura ao lado mostra o campo de direções da equação $y^{\prime }=y+x$, e uma solução.

Existem, em geral, muitas soluções de uma equação diferencial de primeira ordem. Dado um valor inicial $y(x_0)=y_0$, é possível calcular a derivada $y^{\prime }$ no ponto $x_0$, de acordo com a equação diferencial, a derivada nesse ponto é igual a $f(x_0,y_0)$.

E geralmente é possível encontrar uma solução particular que passe pelo ponto $(x_0,y_0)$ e com derivada igual a $f(x,y)$ em cada ponto.

O problema de valor inicial:

$y^{\prime }=f(x,y)y(x_0)=y_0$

consiste em encontrar a solução particular que passa pelo ponto $(x_0,y_0)$.

Sistemas dinâmicos de primeira ordem

Para introduzir alguns conceitos básicos que serão essenciais , vamos analisar dois sistemas dinâmicos simples: um sistema em queda livre e um circuito RC. Nas próximas seções generalizaremos essa análise ao caso de outros sistemas, que podem aparecer em campos muito diversos, diferentes da dinâmica e da teoria de circuitos.

Queda livre

Consideremos primeiro o caso de um objeto que cai livremente dentro de um tubo com vácuo. Nessas condições, a única força externa que atua sobre o sistema é o seu peso, $mg$, e a segunda lei de Newton para este sistema é:

$ma=-mg$

A massa do objecto é eliminada nos dois lados da equação, e a aceleração instantânea $a$ é igual à derivada da velocidade, $\dot{v}$. Assim, obtemos

$\dot{v}=-g$

a aceleração será independente da massa ou forma do objecto, e igual à aceleração da gravidade, $g$. O sinal negativo é devido a estarmos a considerar o sentido positivo da velocidade (e da aceleração) de baixo para cima.

Campo de direções da equação $\dot{v}=-g$

O campo de direções para a equação diferencial é formado por vetores paralelos, todos com declive igual a $-g$ (figura ao lado).

No gráfico apresentado é fácil ver que as soluções da equação são rectas com declive igual a $-g$.

A velocidade diminui continuamente a uma taxa de $-9.8m/s$ cada segundo.

A solução que se mostra na figura anterior corresponde a um objecto que foi lançado verticalmente para cima (velocidade positiva), com uma velocidade inicial de 22 m/s. A velocidade decresce até zero, aproximadamente dois segundos mais tarde, no ponto mais alto da trajetória, e continua a diminuir passando para valores negativos, que indicam que o objecto está a descer.

Se o sistema em queda livre não estiver dentro de um tubo de vácuo, existe outra força externa que não pode ser desprezada: o atrito com o ar. A força de atrito com o ar é sempre oposta à velocidade e depende da forma do objecto e do quadrado do módulo da velocidade.

A expressão matemática para essa força é

$F_a=-\frac{1}{2}{C}_d\rho A|v|v$

onde $A$ é a área da secção transversal do objeto, $\rho$ é a massa volúmica do ar, e $C_d$ é uma constante, sem unidades, que depende da forma geométrica; para esferas, $C_d$ tem o valor de 0.5, e para um pára-quedas circular é aproximadamente $0.8$.

O produto $-|v|v$ garante um sentido oposto à velocidade; se o objecto desce, $v<0$, e força de atrito será para cima ($-|v|v$ positivo).

Se objeto sobe, $v>0$, e a força de atrito será para baixo ($-|v|v$ negativo).

A segunda lei de Newton para o objecto em queda livre é

$m\dot{v}=-mg-\frac{1}{2}{C}_d\rho A|v|v$

Para poder desenhar o campo de direções, será preciso substituir os valores numéricos dos parâmetros.

Alguns valores realistas para um pára-quedista são: $C_d=0.8$, $m=70$ kg e $A=7m^2$.

A aceleração da gravidade é aproximadamente $g=9.8m/s^2$.

A massa volúmica do ar varia com a temperatura, a umidade relativa e a altura sobre o nível do mar. À temperatura ambiente e alguns metros por cima do nível do mar, a massa volúmica do ar é aproximadamente $1.2kg/m^3$.

Assim, em unidades SI, a equação é igual a

$\dot{v}=-9.8-0.048|v|v$

Circuito RC

Circuito RC

Um circuito RC é constituído por um capacitor, em série com uma resistência $R$ e uma fonte de tensão com força eletromotriz constante, $\epsilon$.

A soma algébrica das diferenças de potencial nos três elementos do circuito, deverá ser nula. A diferença de potencial na fonte é $ϵ$, a diferença de potencial na resistência é $RI$ e a diferença de potencial no capacitor é $Q/C$

$RI+\frac{Q}{C}=\epsilon$

Toda a carga que passa pela resistência, ou sai de uma das armaduras do capacitor, ou é armazenada nessa armadura. Isso implica que a corrente através da resistência é igual à derivada da carga no capacitor. A equação reduz-se a uma equação diferencial para a carga no capacitor em função do tempo

$\dot{Q}=\frac{\epsilon }{R}-\frac{Q}{RC}$

Para desenhar o campo de direções, vamos substituir alguns valores típicos dos elementos do circuito:

$R=4k\mathrm{\Omega }$, $C=250nF$ e $\epsilon =5V$.

Convém usar um sistema de unidades apropriado, para evitar os erros numéricos associados aos números muito grandes ou muito pequenos. Usaremos unidades de micro-coulombs, $\mu C$, para a carga, e o tempo em ms.

Nesse sistema de unidades, e substituindo os valores da resistência, capacidade e força eletromotriz, a equação toma a forma

$\dot{Q}=1.25-Q$

Sistemas autônomos

Considerando o sistema na expressão :

$\dot{x}=f(x)$

Nesse caso a função $f$ não depende da variável independente $t$. Do ponto de vista físico, a evolução da variável independente não depende do instante inicial; isto é, a partir de uma velocidade inicial o movimento do sistema será exatamente o mesmo, independentemente do instante em que o sistema obteve essa velocidade inicial. Se repetirmos uma experiência de queda livre uns dias mais tarde, o resultado da experiência será o mesmo.

Do ponto de vista geométrico, as soluções formam famílias de curvas idênticas, deslocadas na direção do eixo horizontal. O campo de direções é invariante se for deslocado na horizontal (eixo do tempo).

Esse tipo de equações diferenciais, em que a função $f$ não depende da variável independente, são designadas de equações diferenciais autônomas. São equações muito importantes, pois aparecem em muitos problemas e inclusivamente nos problemas que conduzem a equações não autônomas, é sempre possível transformar as equações num sistema de equações autônomas.

Assim, a partir desta seção vamos estudar unicamente sistemas autônomos, em que as equações do sistema são equações diferenciais autônomas. Um sistema dinâmico autônomo de primeira ordem é um sistema caracterizado por:

• Uma variável dependente do tempo, $x(t)$, que designamos por variável de estado

• Uma equação diferencial ordinária, autônoma, de primeira ordem: $\dot{x}=f(x)$ que define a evolução da variável de estado, a partir de um estado inicial $x_0$, e designaremos de equação de evolução.

Retrato de fase

Os pontos fixos de um sistema dinâmico contínuo, de primeira ordem, são os pontos onde a derivada da variável de estado é nula. Nesses pontos o estado do sistema permanece constante.

O retrato de fase de um sistema dinâmico é um esboço do campo de direções, mostrando os pontos fixos e algumas soluções que começam ou terminam nesses pontos. Os pontos fixos representam-se por meio de um ponto.

Como a derivada $\dot{x}$ num sistema autônomo (equação) depende apenas da variável de estado, $x$, o declive do campo de direções é o mesmo em todos os pontos com o mesmo valor de $x$.

Retrato de fase para a velocidade de uma partícula, onde $v_t$ designa a velocidade terminal.

Assim, para representar o campo de direções, basta desenhar a projeção do campo ao longo do eixo da variável de estado (eixo vertical). O retrato de fase será uma linha onde se mostram os pontos fixos e as direções das trajetórias.

O retrato de fase do campo da é apresentado na figura ao lado.

A velocidade terminal obtém-se a partir da equação da segunda lei de Newton para o objecto em queda livre, no ponto em que a derivada for igual a zero

$v_{\mathrm{t}}=-\sqrt{\frac{2mg}{C_d\rho A}}$

Assim, neste caso, existe um único ponto fixo, correspondente à velocidade terminal.

Na região à esquerda da velocidade terminal, do retrato de fase da figura anterior, o lado direito da segunda lei de Newton para o objecto em queda livre é positivo e, portanto, a derivada da velocidade é positiva. Tal fato é indicado pela seta que aponta para a direita.

A solução que se aproxima do ponto fixo (velocidade terminal) pela esquerda, corresponde ao caso em que no instante inicial o pára-quedista está a descer com uma velocidade com módulo maior que a velocidade terminal; o pára-quedas trava a queda até que o pára-quedista alcança a velocidade terminal. O ponto fixo é um nó atrativo; todas as soluções aproximam-se dele.

Retrato de fase de um circuito RC

No caso do circuito RC, que também é um sistema autônomo de primeira ordem, o retrato de fase é semelhante a da partícula em queda.

O ponto fixo é o ponto $Q=1.25$, que faz com que a derivada seja nula. É um nó atrativo; a carga no condensador aproximar-se-á de $1.25\mu C$, independentemente do seu valor inicial.

Em geral, o ponto fixo localiza-se em $\epsilon C$. Os valores negativos da carga representam situações em que o condensador encontra-se carregado em modo inverso à bateria.

Método de Euler

Os métodos de resolução numérica de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

$\dot{x}=f(x,t)$

consistem em calcular o valor da variável de estado numa sequência discreta de instantes $\{t_0,t_1,t_2,\dots \}$, usando alguma estimativa dos valores médios das derivadas durante cada intervalo de tempo $[t_i,t_{i+1}]$, a partir da função $f(x,t)$ que é a derivada instantânea.

Podemos usar uma sequência de instantes $t_i$ igualmente espaçados entre si, com incremento de tempo $h$:

$\{t_0,t_0+h,t_0+2h,\dots \}{t}_n=t_0+nh$

assim, substituiremos a variável contínua $x(t)$ por uma variável discreta:

$\{x_0,x_1,x_2,\dots \}{x}_n=x(t_n)=x(t_0+nh)$

O sistema contínuo é substituído por um sistema discreto. A equação de evolução desse sistema discreto dependerá do método numérico usado para fazer a estimativa do valor médio da derivada em cada intervalo $[t_n,t_n+h]$.

Método de euler para calcular as soluções de um sistema contínuo de primeira ordem.

Existem muitos métodos numéricos para resolver sistemas dinâmicos contínuos. Nesta secção apresentaremos um método muito simples, o método de Euler.

Usando a notação introduzida na equação, a definição da derivada $\dot{x}$, no instante $t_n=t_0+nh$, escreve-se

$\dot{x}(t_n)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x(t_n+h)-x(t_n)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{h}$

Assim, se $h$ for suficientemente pequeno, a equação anterior conduz a uma forma aproximada de calcular $x_{n+1}$ em função do estado, $x_n$, e da derivada no instante $t_n$.

$x_{n+1}\approx x_n+h\dot{x}(t_n)$

Combinando essa aproximação com a primeira equação da seção (método de euler), , obtemos a equação do sistema discreto equivalente:

$x_{n+1}=x_n+hf(t_n,x_n)$

A condição inicial $(t_0,x_0)$ permite-nos calcular $(t_1,x_1)$, usando a equação de recorrência , e assim sucessivamente podemos calcular $(t_2,x_2)$, $(t_3,x_3)$,etc.

É de salientar que a aproximação que se fez consiste em admitir que o valor médio da derivada $\dot{x}$ no intervalo $[t_n,t_n+h]$ é igual ao valor da derivada no instante inicial do intervalo.

Do ponto de vista gráfico, o que estamos a fazer é deslocarmos-nos, desde o ponto $(t_0,x_0)$, uma distância $h$, segundo o eixo $t$, na direção do campo de direções, como se mostra na figura anterior.

Como mostra a figura, a direção do campo no ponto $i$ já não é a mesma no ponto $i+1$e, assim, a curva obtida não segue perfeitamente o campo de direções. Mas se $h$ for suficiente pequeno, obtém-se uma boa aproximação.

Resolução analítica das equações diferenciais

Existem alguns tipos de equações ordinárias de primeira ordem que podem ser resolvidas analiticamente ,as quais veremos a seguir.

Equações de variáveis separáveis

Se a equação tiver a forma

$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}$

é designada por equação de variáveis separáveis. Para resolver este tipo de equação, primeiro observemos que a primitiva da função $g(y)$ pode ser calculada da seguinte forma

$\int g(y)dy=\int g(y(x))\frac{dy}{dx}dx$

a equação diferencial pode ser escrita como

$g(y)\frac{dy}{dx}=f(x)$

a primitiva do lado esquerdo, em ordem a $x$, é igual à primitiva de $g(y)$, em ordem a $y$, como acabamos de ver; assim, temos que

$\int g(y)dy=\int f(x)dx+c$

Se conseguirmos calcular as primitivas a cada lado da equação, obteremos a solução analítica da equação diferencial.

Equações lineares

Uma equação diferencial linear, de primeira ordem, tem a forma geral

$\frac{dy}{dx}+p(x)y=f(x)$

onde $p(x)$ e $f(x)$ são quaisquer duas funções que dependem apenas de $x$ (podem também ser constantes).

No caso particular em que a função $p$ for uma constante $a$, o lado esquerdo terá alguma semelhança com a seguinte derivada

$\frac{dy}{dx}(y{e}^{ax})=e^{ax}(y^{\prime }+ay)$

consequentemente, se multiplicarmos os dois lados da equação diferencial por $e^{ax}$ obteremos:

$\begin{array}{cc}& \frac{dy}{dx}(y{e}^{ax})=e^{ax}f(x)\\ & y{e}^{ax}=\int e^{ax}f(x)dx+c\end{array}$

No caso geral em que $p$ depender de $x$, usaremos a primitiva de $p(x)$ em vez de $ax$, e o fator integrante pelo qual deveremos multiplicar a equação será

$\mu (x)=\exp [\int p(x)dx]$

multiplicando os dois lados da equação diferencial por $\mu$ obtém-se

$\begin{array}{c}\frac{d}{dx}(y\mu (x))=\mu (x)f(x)\\ y\mu =\int \mu (x)f(x)dx+c\end{array}$

Equações exatas

Qualquer equação de primeira ordem pode ser escrita na forma

$\frac{dy}{dx}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$

que conduz a

$-M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

esta forma é semelhante à expressão da diferencial de uma função de duas variáveis

$dF(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy$

Esta equação sugere-nos admitir que existe uma função $F(x,y)$ cujas derivadas parciais são iguais a $-M(x,y)$ e $N(x,y)$; no entanto a segunda derivada parcial de $F$ seria

$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}=-\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$

Assim, para que a conjectura da existência da função $F(x,y)$ seja consistente, é necessário que as funções $M$ e $N$ verifiquem a seguinte condição

$\frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{\partial M}{\partial y}$

nesse caso diz-se que a equação é exata e existirá uma função $F(x,y)$ tal que a equação diferencial é equivalente à condição

$dF(x,y)=0$

assim, a solução geral da equação diferencial será a família de curvas

$F(x,y)=c$

A função $F$ calcula-se encontrando a função cujas derivadas parciais sejam iguais a $N(x,y)$ e $-M(x,y)$.

Equações homogêneas

Uma equação de primeira ordem diz-se homogênea se tiver a seguinte forma geral

$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$

para resolver esse tipo de equação usa-se a substituição

$v=\frac{y}{x}⟶\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$

a qual torna a equação numa equação de variáveis separáveis. Para reconhecer facilmente se uma função racional é da forma $f(y/x)$ observam-se os expoentes de cada termo no numerador e denominador (soma do expoente de $x$ mais o expoente de $y$) os quais deverão ser iguais.

Por exemplo, das duas funções seguintes as duas primeiras tem a forma $f(y/x)$ mas a terceira não

$\begin{array}{cc}& \frac{x{y}^2-x^3}{y{x}^2}\\ & \frac{y^2\cos (x/y)}{xy}+5\\ & \frac{xy+y}{2+x}\end{array}$

Equação de Bernoulli

Um tipo de equação diferencial que pode ser reduzida a equação linear, é a chamada equação de Bernoulli, definida por

$\frac{dy}{dx}+p(x)y^n=f(x)y$

onde $n$ é um número racional, diferente de 0 e de 1. A substituição

$v=y^{1-n}⟶v^{\prime }=(1-n)y^{-n}{y}^{\prime }$

transforma a equação de Bernoulli numa equação linear.

Equação de Riccati

Outra equação redutível a equação linear é a equação de Riccati:

$\frac{dy}{dx}=a(x)+b(x)y+c(x)y^2$

onde $a(x)$, $b(x)$ e $c(x)$ são três funções que dependem de $x$. Se conhecermos uma solução particular da equação, por exemplo $y_1$, a seguinte mudança de variável transformará a equação de Riccati numa equação linear

$y=y_1+\frac{1}{v}⟶\frac{dy}{dx}=\frac{d{y}_1}{dx}-\frac{1}{v^2}\frac{dv}{dx}$ Predefinição:Referências

Ligações externas

Predefinição:Multicol Livros

• Teoria e exercícios práticos de Dinâmica de Sistemas
• Guía Usuario Vensim

Predefinição:Multicol-break Cursos

• Curso Basico
• Curso Avançado
• Curso Superior

Predefinição:Multicol-break Organizações

• System Dynamics Society
• MIT System Dynamics Group
• The Systems Thinker

Predefinição:Multicol-break Software

• Vensim
• AnyLogic
• iThink/Stella SD Tools

Ver também

• Sistema contínuo de segunda ordem
• Sistema dinâmico não linear
• Sistema dinâmico de Liouville
• Sistema de equações lineares