Estado Plano de Tensão

Estado Plano de Tensão num espaço contínuo

Na mecânica de meios contínuos, diz-se que um material está sob o Estado Plano de Tensão quando o vetor de tensão normal a um dos planos principais é zero. Quando esta situação ocorre sobre um elemento de estrutura inteiro, como é o caso de placas finas, a análise de tensões simplifica-se consideravelmente, já que o estado de tensão pode ser representado por um tensor de dimensão 2 (apresentável através de uma matriz de 2 × 2 em vez de uma matriz 3 × 3). Uma noção relacionada, estado plano de deformação, é também aplicável em membros muito espessos.

O estado plano de tensão ocorre tipicamente em placas finas que são sujeitas apenas a forças de carga paralelas a elas. Em certas situações, uma placa ligeiramente curvada pode ser assumida como tendo estado plano de tensão para propósitos de análise de tensões. Este é o caso, por exemplo, de um cilindro de paredes finas ocupado por um fluido sob pressão. Em tais casos, as componentes de tensão perpendiculares à placa são negligenciáveis quando comparadas com aquelas que são paralelas à mesma.

Em outras situações, contudo, a tensão de flexão de uma placa fina não pode ser desprezada. A análise pode ser simplificada através do uso de um domínio bidimensional, mas o tensor de estado plano de tensão para cada ponto deve ser complementado com os termos de flexão.

Definição matemática

Matematicamente, a tensão em qualquer ponto do material está em estado plano de tensão se uma das três tensões principais (os valores próprios do tensor das tensões de Cauchy) é zero, isto é, o tensor de tensões no sistema de coordenadas cartesiano é,

$\sigma =\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& 0& 0\\ 0& {\sigma }_{22}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\equiv \left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& 0& 0\\ 0& {\sigma }_y& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$.

Por exemplo, considere-se um bloco de material rectangular medindo 10, 40 e 5 cm segundo $x$, $y$ e $z$ e que está a ser esticado na direcção $x$ e comprimido na direcção $y$ por pares de forças opostas com magnitude 10 N e 20 N, respectivamente, uniformemente distribuídas pelas faces correspondentes. O tensor de tensões do bloco seria de,

$\sigma =\left[\begin{array}{ccc}500\mathrm{P}\mathrm{a}& 0& 0\\ 0& -4000\mathrm{P}\mathrm{a}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$.

Mais genericamente, se se escolhem as duas primeiras coordenadas arbitrariamente mas perpendiculares à direcção de tensão zero, o tensor de tensões terá a forma,

$\sigma =\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& 0\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\equiv \left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& 0\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

e poderá portanto ser representada em forma de matriz 2 × 2,

${\sigma }_{ij}=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}\end{array}\right]\equiv \left[\begin{array}{cc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y\end{array}\right]$.

Estado Plano de Tensão em superfícies curvas

Em certos casos, o modelo de estado plano de tensão pode ser usado na análise de superfícies ligeiramente curvas. Por exemplo, considere-se um cilindro de paredes finas sujeito a uma força de compressão axial distribuída uniformemente ao longo do seu aro, estando este ocupado por um fluido pressurizado. A pressão interna gerará uma tensão cilíndrica na parede, uma tensão de tracção normal directamente perpendicular ao eixo do cilindro e tangencial à sua superfície. O cilindro pode ser conceptualmente desenrolado e analisado como uma placa rectangular fina sujeita a uma tensão de tracção numa direcção e a uma tensão de compressão na outra direcção, ambas paralelas à placa.

Estado Plano de Deformação

Estado Plano de Deformação num espaço contínuo

Predefinição:Artigo principal Se uma dimensão é muito grande comparada com as outras, a tensão principal na direcção da dimensão mais longa é desprezada e pode ser considerada zero, cedendo à condição de estado plano de deformação. Neste caso, apesar de todas as tensões principais não serem zero, a tensão principal na direcção da dimensão mais longa pode ser ignorada para os cálculos. Logo, isto permite uma análise bidimensional das tensões, como é o caso da análise de barragens na secção de corte carregada pelas reservas.

O tensor de deformações correspondente é,

${\epsilon }_{ij}=\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}& 0\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}& 0\\ 0& 0& {\epsilon }_{33}\end{array}\right]$

no qual o termo não-zero ${\epsilon }_{33}$ surge a partir do coeficiente de Poisson. Este termo de deformação pode ser temporariamente removido a partir da análise de tensões para deixar apenas os termos do plano, reduzindo de forma efectiva a análise para duas dimensões.

Transformação da tensão em estado plano de tensão e estado plano de deformação

Considere-se um ponto $P$ num meio contínuo sob um estado plano de tensão, com as componentes de tensão $({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\tau }_{xy})$ e todas as outras componentes de tensão iguais a zero. A partir do equilíbrio estático de um elemento material infinitesimal em $P$, a tensão normal ${\sigma }_{\mathrm{n}}$ e a tensão de corte ${\tau }_{\mathrm{n}}$ em qualquer plano perpendicular ao plano $x$-$y$ que passe através de $P$ com um vector unitário $𝐧$ fazendo um ângulo $\theta$ com a horizontal, ou seja, $\cos \theta$, é a direcção coseno na direcção $x$, saõ fornecidos por,

Transformação da tensão num ponto do meio contínuo sob condições de Estado Plano de Tensão

${\sigma }_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}({\sigma }_x+{\sigma }_y)+\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)\cos 2\theta +{\tau }_{xy}\sin 2\theta$,

${\tau }_{\mathrm{n}}=-\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)\sin 2\theta +{\tau }_{xy}\cos 2\theta$.

Estas equações indicam que numa condição de estado plano de tensão ou estado plano de deformação, podem-se determinar as componentes da tensão num ponto em todas as direcções, ou seja, como uma função de $\theta$, se se souber as componentes de tensão $({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\tau }_{xy})$ em quaisquer duas direcções perpendiculares nesse ponto. É importante recordar que se considera a unidade de área de um elemento infinitesimal numa direcção paralela ao plano $y$-$z$.

As direcções principais, ou seja, a orientação dos planos onde as componentes de tensão de corte são zero, podem ser obtidas pela aplicação da equação anterior para a tensão de corte ${\tau }_{\mathrm{n}}$ igual a zero. Logo tem-se,

${\tau }_{\mathrm{n}}=-\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)\sin 2\theta +{\tau }_{xy}\cos 2\theta =0$,

e obtém-se,

$\tan 2{\theta }_{\mathrm{p}}=\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_x-{\sigma }_y}$.

Componentes da tensão num plano que passa através de um ponto do meio contínuo sob condições de Estado Plano de Tensão

Esta equação define dois valores ${\theta }_{\mathrm{p}}$ os quais estão separados por $90^{\circ }$ em ângulo. O mesmo resultado pode ser obtido por encontrar o ângulo $\theta$ que faça com que a tensão normal ${\sigma }_{\mathrm{n}}$ seja máxima, ou seja, $\frac{d{\sigma }_{\mathrm{n}}}{d\theta }=0$.

As tensões principais ${\sigma }_1$ e ${\sigma }_2$, ou as tensões normais máximas e mínimas ${\sigma }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ e ${\sigma }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$, respectivamente, podem então ser obtidas pela substituição de ambos os valores de ${\theta }_{\mathrm{p}}$ na equação anterior para ${\sigma }_{\mathrm{n}}$. Isto pode ser atingido pelo rearranjo das equações para ${\sigma }_{\mathrm{n}}$ e ${\tau }_{\mathrm{n}}$, primeiro transpondo o primeiro termo na primeira equação elevar ao quadrado ambos as margens de cada equação, somando-as depois. Logo tem-se,

$\begin{array}{cc}{[{\sigma }_{\mathrm{n}}-\frac{1}{2}({\sigma }_x+{\sigma }_y)]}^2+{\tau }_{\mathrm{n}}^2& ={[\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)]}^2+{\tau }_{xy}^2\\ ({\sigma }_{\mathrm{n}}-{\sigma }_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}{)}^2+{\tau }_{\mathrm{n}}^2& =R^2\end{array}$,

onde,

$R=\sqrt{{[\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)]}^2+{\tau }_{xy}^2}\text{e}{\sigma }_{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}}=\frac{1}{2}({\sigma }_x+{\sigma }_y)$,

o qual é a equação de um círculo de raio $R$ centrado num ponto de coordenadas $[{\sigma }_{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}},0]$, denominado Círculo de Mohr. Conhecendo-o para as tensões principais e a tensão de corte ${\tau }_{\mathrm{n}}=0$, então obtém-se a partir desta equação,

${\sigma }_1={\sigma }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{1}{2}({\sigma }_x+{\sigma }_y)+\sqrt{{[\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)]}^2+{\tau }_{xy}^2}$,

${\sigma }_2={\sigma }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\frac{1}{2}({\sigma }_x+{\sigma }_y)-\sqrt{{[\frac{1}{2}({\sigma }_x-{\sigma }_y)]}^2+{\tau }_{xy}^2}$.

Transformação das tensões em duas dimensões, mostrando os planos de acção das tensões principais, e as tensões de corte máximas e mínimas

Quando ${\tau }_{xy}=0$ o elemento infinitesimal estão orientado na direcção das tensões principais, pelo que as tensões que actuam no elemento rectangular são as tensões principais, ${\sigma }_x={\sigma }_1$ e ${\sigma }_y={\sigma }_2$. Então a tensão normal ${\sigma }_{\mathrm{n}}$ e a tensão de corte ${\tau }_{\mathrm{n}}$ como uma função das tensões principais podem ser determinados através da aplicação de ${\tau }_{xy}=0$. Logo tem-se,

${\sigma }_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}({\sigma }_1+{\sigma }_2)+\frac{1}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_2)\cos 2\theta$,

${\tau }_{\mathrm{n}}=-\frac{1}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_2)\sin 2\theta$.

Então a tensão de corte máxima ${\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ ocorre quando $\sin 2\theta =1$, ou seja, $\theta =45^{\circ }$,

${\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{1}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_2)$.

Então a tensão de corte mínima ${\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$ ocorre quando $\sin 2\theta =-1$, ou seja, $\theta =135^{\circ }$,

${\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=-\frac{1}{2}({\sigma }_1-{\sigma }_2)$.