Método do domínio fictício

Predefinição:Sem notas Em matemática, o Método do domínio fictício é um método para encontrar as soluções de uma equação diferencial parcial em um domínio complicado $D$, substituindo um dado problema em um domínio $D$ por um novo problema em um domínio simples $\mathrm{\Omega }$ contendo $D$

Formulação Geral

Considere uma área $D\subset {ℝ}^n$ na qual queiramos encontrar a solução $u(x)$ da equação:

$Lu=-\varphi (x),x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in D$

com Condições de fronteira:

$lu=g(x),x\in \partial D$

A ideia do método do domínio fictício é basicamente substituir um problema dado em um domínio $D$, por um novo problema em um simples domínio $\mathrm{\Omega }$ contendo $D$ ($D\subset \mathrm{\Omega }$). Por exemplo, podemos escolher um paralelepípedo n-dimensional como $\mathrm{\Omega }$.

Problema no domínio $\mathrm{\Omega }$ para a nova solução $u_{ϵ}(x)$:

$L_{ϵ}{u}_{ϵ}=-{\varphi }^{ϵ}(x),x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in \mathrm{\Omega }$

$l_{ϵ}{u}_{ϵ}=g^{ϵ}(x),x\in \partial \mathrm{\Omega }$

É necessário levar o problema a uma área estendida para que as seguintes condições sejam satisfeitas:

$u_{ϵ}(x)\underset{ϵ\to 0}{\overset{}{\to }}u(x),x\in D$

Exemplo simples, problema unidimensional

$\frac{d^{2}u}{d{x}^2}=-2,0<x<1(1)$

$u(0)=0,u(1)=0$

Prolongamento pelos coeficientes principais

$u_{ϵ}(x)$ solução do problema:

$\frac{d}{dx}{k}^{ϵ}(x)\frac{d{u}_{ϵ}}{dx}=-{\varphi }^{ϵ}(x),0<x<2(2)$

O coeficiente descontínuo $k^{ϵ}(x)$ e o lado direito da equação anterior obtemos das expressões:

$k^{ϵ}(x)=\{\begin{array}{cc}1,& 0<x<1\\ \frac{1}{{ϵ}^2},& 1<x<2\end{array}$

$(3)$

${\varphi }^{ϵ}(x)=\{\begin{array}{cc}2,& 0<x<1\\ 2c_0,& 1<x<2\end{array}$

Condições de fronteira:

$u_{ϵ}(0)=0,u_{ϵ}(1)=0$

Condições de conexão no ponto $x=1$:

$[u_{ϵ}(0)]=0,[k^{ϵ}(x)\frac{d{u}_{ϵ}}{dx}]=0$

onde $[\cdot ]$ significa:

$[p(x)]=p(x+0)-p(x-0)$

A equação (1) tem solução analítica portanto podemos facilmente obter o erro:

$u(x)-u_{ϵ}(x)=O({ϵ}^2),0<x<1$

Prolongamento por coeficientes de ordem mais baixa

$u_{ϵ}(x)$ solução do problema:

$\frac{d^2{u}_{ϵ}}{d{x}^2}-c^{ϵ}(x)u_{ϵ}=-{\varphi }^{ϵ}(x),0<x<2(4)$

Onde ${\varphi }^{ϵ}(x)$ pegamos como em (3), e a expressão para $c^{ϵ}(x)$

$c^{ϵ}(x)=\{\begin{array}{cc}1,& 0<x<1\\ \frac{1}{{ϵ}^2},& 1<x<2\end{array}$

como condições de fronteira para a equação (4) assim como para (2).

Condições de conexão do ponto $x=1$:

$[u_{ϵ}(0)]=0,\left[\frac{d{u}_{ϵ}}{dx}\right]=0$

Erro:

$u(x)-u_{ϵ}(x)=O(ϵ),0<x<1$

Literatura

• P.N. Vabishchevich, The Method of Fictitious Domains in Problems of Mathematical Physics, Izdatelstvo Moskovskogo Universiteta, Moskva, 1991.
• Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Preprint CC SA USSR, 68, 1979.
• Bugrov A.N., Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Mathematical model of fluid flow, Novosibirsk, 1978, p. 79–90