Transformada discreta de Mellin

A amostragem de uma função contínua (à esquerda) por meio do pente de Dirac (centro) resulta numa função discretizada (à direita).

Em matemática a transformada discreta de Mellin é a versão discreta da transformada de Mellin. Em aplicações práticas de Física e Engenharia, em particular a análise de sinais, ela é mais útil que a versão contínua, porque se presta melhor ao processamento digital.

Uma transformada discreta se aplica a uma sequência de n valores f(k), com n e k inteiros positivos; essa sequência é normalmente obtida de um sinal contínuo, que é expresso por uma função contínua f(t), por meio de um processo de discretização adequado. Além da discretização, às vezes é também necessário limitar o suporte das funções de entrada e de saída.

A transformada discreta de Mellin é uma relação linear, expressa pela equação abaixo, entre os coeficientes f_k da sequência de entrada f(k) e os coeficientes F_k da sequência de saída F(k):

$\begin{array}{c}{F}_k=\frac{1}{\ln (a)}\sum _{j=m}^{m+n-1}{b}^{n(r+1)}\cdot f_k\cdot e^{i2\pi jk\ln (b)}\\ \\ f_k=𝒟\{f(\nu )\}(b^k)\\ \\ a,b,r\in \mathcal{(}R),a,b,r>0\\ \\ m,n\in \mathcal{(}N),m,n>0\end{array}(1a)$

onde o operador $𝒟$ denota o processo de discretização, que determinará também os valores adequados para a, b, r e m em função do número de amostras n e dos intervalos de definição de f(k) e de F_k.

A função definida por (1a) é periódica, com período τ = $\frac{1}{ln(b)}$. As fórmulas podem ser calculadas de forma computacionalmente econômica com auxílio de algoritmos como a transformada rápida de Fourier (FFT) ou variações desta, o que favorece o seu uso em aplicações práticas (ver exemplo abaixo).

Conceitos

Processo de discretização

O processo de discretização é similar àquele aplicado para se obter a transformada discreta de Fourier, uma vez que as transformadas de Mellin e de Fourier possuem muitas similaridades.

A base para a definição da transformada discreta de Mellin é a versão dual (ou "na variável β") da transformada contínua de Mellin. Na equação (2a), um pente (aritmético) de Dirac é usado para amostrar os valores da função contínua $\overline{F}(\beta )$, que é a transformada dual de f(ν):

$F(k)=\frac{1}{\ln (a)}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\overline{F}(\beta )\cdot \delta (\beta -\frac{k}{\ln (a)})=\frac{1}{\ln (a)}\overline{F}(\beta )\cdot comb(\beta -\frac{1}{\ln (a)})(2a)$

O fator de escalamento $\frac{1}{\ln (a)}$ foi introduzido por conveniência.

Como o pente aritmético de Dirac é a transformada dual de Mellin do pente geométrico de Dirac Δ_a^r, a equação (2a) pode ser escrita como

$F(k)=\frac{1}{\ln (a)}\overline{F}(\beta )\cdot comb(\beta -\frac{1}{\ln (a)})=\overline{ℱ}\{(f(\nu )\}\cdot \overline{ℱ}\{{\mathrm{\Delta }}_a^r(\nu )\}$

e, devido à propriedade da convolução de Mellin (ou convolução multiplicativa), podemos escrever

$F(k)=\overline{ℱ}\{\frac{}{}f(\nu )\vee {\mathrm{\Delta }}_a^r(\nu )\}$

onde o operador ∨ denota a convolução de Mellin. Aplicando-se a transformada inversa, decorre imediatamente a propriedade

$f(k)=f_d(a,k)={\overline{ℱ}}^{-1}\{F(k)\}=\frac{}{}f(\nu )\vee {\mathrm{\Delta }}_a^r(\nu )=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{k(r+1)}\cdot f(a^k\nu )(2b)$

A interpretação geométrica da equação (2b) é que a sequência f(k) é idêntica à somatória de infinitas versões da função original f(ν), cada uma sofrendo uma dilatação diferente. Por isso, f(k) é chamada a forma dilatocíclica (ing. dilatocycled form) de f(ν) com razão a. Para evitar a confusão com outras formas, a partir deste ponto essa será denotada por f_d(a,k). Essa função é periódica com período τ_a = $\frac{1}{ln(a)}$.

A equação (2b) pode ser entendida como uma condição de existência da transformada discreta de Mellin (e da possibilidade da inversão): se o suporte da função de entrada f(ν) for o intervalo [ν₁,ν₂], é preciso escolher o valor de a tal que $a\ge \frac{{\nu }_2}{{\nu }_1}$ para que f_d(a,k) possua o mesmo suporte.

Em aplicações práticas, apenas a discretização mostrada em (2a) é insuficiente. Como é preciso trabalhar com um suporte finito, é preciso que a função F(β) seja periódica, de forma que toda a informação esteja concentrada em um intervalo [β₁,β₂]. Isso se consegue por meio da amostragem da função de entrada f(ν) por meio do produto invariante com o pente geométrico de Dirac:

$f^g(b,\nu )=f(\nu )\circ {\mathrm{\Delta }}_b^r(\nu )=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{b}^k\cdot f(b^k)\cdot \delta (\nu -b^k)(2c)$

onde f^g(b, ν) é chamada a forma amostrada geometricamente (ing. geometrically sampled form) de f(ν). A transformada dual de Mellin de f^g(b, ν) será

$\overline{ℱ}\{f^g(b,\nu )\}=\overline{ℱ}\{f(\nu )\circ {\mathrm{\Delta }}_b^r(\nu )\}=\overline{ℱ}\{f(\nu )\}*\overline{ℱ}\{{\mathrm{\Delta }}_b^r(\nu )\}=\overline{F}(\beta )*\frac{1}{\ln (b)}comb(\beta -\frac{1}{\ln (b)})$

$\overline{ℱ}\{f^g(b,\nu )\}=\frac{1}{\ln (b)}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\overline{F}(\beta )\cdot [\beta -\frac{k}{\ln (b)}](2d)$

O resultado é uma função periódica com período τ_b = $\frac{1}{ln(b)}$. O período deve ser maior que o suporte de F(β), portanto $b<e^{\frac{1}{{\beta }_2-{\beta }_1}}$.

A aplicação de ambos os processos acima leva à definição da transformada discreta de Mellin, como resumido abaixo.

O processo de discretização é similar para muitas transformadas discretas. A função original (em azul, acima) e sua função transformada contínua (em vermelho, abaixo) aparecem à esquerda; fazendo-se a função original periódica, a transformada torna-se uma sequência de valores discretos (segundo grupo); amostrando-se a função original, a transformada torna-se periódica (terceiro grupo); aplicando-se ambos os processos, obtém-se um par de funções discretas e periódicas (à direita).

Resumo

A transformada discreta de Mellin de uma sequência de valores f(k) é dada pela expressão (2e), que é uma combinação de (2a) e (2d). A sequência f(k) é obtida de uma função contínua f(ν) por meio dos processos sucessivos de dilatação cíclica e de amostragem geométrica, denotados pelo operador $𝒟$ e descritos pelas equações (2b) e (2c), com parâmetros a e b que devem ser escolhidos de acordo com a extensão do suporte das funções f(ν) e sua transformada dual de Mellin. Além disso, faz-se a = bⁿ, onde n é o número de amostras a ser trabalhado, para assegurar a periodicidade do resultado; com isso, o período resultante é τ_b = $\frac{1}{ln(b)}=\frac{n}{ln(a)}$, isto é, um múltiplo de τ_a.

$\begin{array}{c}f(k)=𝒟\{f(\nu )\}=f_d^g(a,b,k)\\ \\ F(k)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{F}_k\cdot \delta (\beta -\frac{k}{n\ln (b)})\\ \\ F_k=\frac{1}{n\cdot {\ln }^2(b)}\sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\overline{F}\left(\frac{k-jn}{n\ln (b)}\right)\end{array}(2e)$

Fórmulas para as transformadas direta e inversa

A equação (2e) expressa os coeficientes F_k em função da versão contínua da transformada. Uma fórmula em função dos coeficientes f_k da sequência de entrada é obtida a partir da fórmula de definição da transformada dual de Mellin

$\overline{ℳ}\{f(\nu )\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\nu )\cdot {\nu }^{r+i2\pi \beta }d\nu |r>0$

que deve produzir o mesmo resultado de (2e). Isso resulta em

$\overline{F}(\beta )=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{b}^{n(r+1)}\cdot f_d^g(b^k)\cdot e^{i2\pi k\beta \ln (b)}(2f)$

que é uma função periódica com período $\frac{1}{ln(b)}$ = τ_b. Por inspeção, obtemos

${\alpha }_k=b^{n(r+1)}\cdot f_d^g(b^k)(2g)$

que são os coeficientes da expansão em séries de Fourier de $\overline{F}(\beta )$. Isso permite o cálculo da fórmula (1a) pelas técnicas usuais relacionadas a essas séries, e também da transformada inversa

$\begin{array}{c}{f}_k=\frac{1}{n}\sum _{j=l}^{l+n-1}{b}^{-n(r+1)}\cdot F_k\cdot e^{-i2\pi jk\ln (b)}\\ \\ f_k=𝒟\{f(\nu )\}(b^k)\\ \\ b,r\in \mathcal{(}R),b,r>0\\ \\ l,n\in \mathcal{(}N),l,n>0\end{array}(1b)$

onde l = β₁· ln(a).

Exemplos de aplicação

Cálculo de transformada de wavelet

A transformada de wavelet de uma função real f(t) é dada por

$W(a,b)=\frac{1}{\sqrt{|a|}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cdot {\psi }^{*}\left(\frac{t-b}{a}\right)dt(3a)$

onde o símbolo ^* indica o conjugado complexo e a função φ(t) é a chamada "wavelet-mãe". A versão discreta será representada pela mesma equação, por simplicidade. O material que se segue aplica-se às versões discretas das transformadas, apesar de estar sendo usada a notação correspondente às versões contínuas.

Não se conhece algoritmo de baixa complexidade computacional para o cálculo da equação (3a), devido à multiplicidade de formas que a wavelet pode assumir.

Mediante a aplicação do teorema de Parseval para a transformada de Fourier, podemos reescrever a equação no domínio da frequência como

$W(a,b)=\frac{1}{\sqrt{|a|}}\cdot \frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}ℱ\{f(t)\}\cdot ℱ{\left\{\psi \left(\frac{t-b}{a}\right)\right\}}^{*}d\omega$

Aplicando as conhecidas propriedades de escalamento e deslocamento, temos

$W(a,b)=\frac{1}{\sqrt{|a|}}\cdot \frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )\cdot {[\frac{}{}|a|\mathrm{\Psi }(a\omega )\cdot e^{-i2\pi b\omega }]}^{*}d\omega$

onde F(ω) e Φ(ω) são as transformadas de f(t) e φ(t), respectivamente. Como a função f(t) é real, vale a propriedade adicional F(-ω) = F^*(-ω) e podemos escrever

$W(a,b)=\frac{\sqrt{|a|}}{2\pi }(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}F(\omega )\cdot {\mathrm{\Psi }}^{*}(a\omega )\cdot e^{i2\pi b\omega }d\omega +\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )\cdot {\mathrm{\Psi }}^{*}(a\omega )\cdot e^{i2\pi b\omega }d\omega )$

$W(a,b)=\frac{\sqrt{|a|}}{2\pi }(-\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}F(-u)\cdot {\mathrm{\Psi }}^{*}(-au)\cdot e^{-i2\pi bu}du+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )\cdot {\mathrm{\Psi }}^{*}(a\omega )\cdot e^{i2\pi b\omega }d\omega )|u=-\omega$

$W(a,b)=\frac{\sqrt{|a|}}{2\pi }(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}^{*}(u)\cdot \mathrm{\Psi }(au)\cdot e^{-i2\pi bu}du+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )\cdot {\mathrm{\Psi }}^{*}(a\omega )\cdot e^{i2\pi b\omega }d\omega )$

$W(a,b)=\frac{\sqrt{|a|}}{2\pi }(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{[\frac{}{}F(u)\cdot {\mathrm{\Psi }}^{*}(au)\cdot e^{i2\pi bu}]}^{*}du+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[F(\omega )\cdot \frac{}{}{\mathrm{\Psi }}^{*}(a\omega )\cdot e^{i2\pi b\omega }]d\omega )$

$W(a,b)=\frac{\sqrt{|a|}}{2\pi }\cdot 2\mathrm{\Re }\{\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\omega )\cdot {\mathrm{\Psi }}^{*}(a\omega )\cdot e^{i2\pi b\omega }d\omega \}(3b)$

O cálculo da equação (3b) é dificultado pela presença da dilatação em Ψ(aω). O emprego de algoritmos como a FFT nesse caso usualmente requer oversampling e interpolações.

Aplicando a (3b) a versão do teorema de Parseval para a transformada dual de Mellin, com r = -½, temos

$W(a,b)=\frac{\sqrt{|a|}}{\pi }\cdot \mathrm{\Re }\{\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[F(\omega )\cdot e^{i2\pi b\omega }]\cdot {\mathrm{\Psi }}^{*}(a\omega )\cdot {\omega }^{2r+1}d\omega \}|r=-\frac{1}{2}$

$W(a,b)=\frac{\sqrt{|a|}}{\pi }\cdot \mathrm{\Re }\{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\overline{ℳ}\{\frac{}{}F(\omega )\cdot e^{i2\pi b\omega }\}\cdot \overline{ℳ}\{\frac{}{}{\mathrm{\Psi }}^{*}(a\omega )\}d\beta \}$

Considerando a > 0, que é a situação usual, e aplicando a propriedade do escalamento, teremos finalmente

$W(a,b)=\frac{1}{\pi }\cdot \mathrm{\Re }\{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\overline{ℳ}\{\frac{}{}F(\omega )\cdot e^{i2\pi b\omega }\}\cdot \overline{ℳ}\{\frac{}{}{a}^r\cdot {\mathrm{\Psi }}^{*}(a\omega )\}d\beta \}$

$W(a,b)=\frac{1}{\pi }\cdot \mathrm{\Re }\{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\overline{ℳ}\{\frac{}{}F(\omega )\cdot e^{i2\pi b\omega }\}\cdot a^{i2\pi \beta }\cdot \overline{ℳ}\{\frac{}{}{\mathrm{\Psi }}^{*}(\omega )\}d\beta \}(3c)$

A equação (3c) não apresenta mais a dilatação e pode ser calculada por meio de algoritmos rápidos para cálculo das transformadas de Fourier e de Mellin. A complexidade computacional é igual a (2m+1) vezes a complexidade da FFT para um número de amostras igual a 2n, onde n e m são as dimensões da grade de discretização das variáveis a e b..

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