Ordenação de tempo

Na teoria quântica de campos a ordenação de tempo é útil para tirar produto de operadores. Esta operação é designada por $𝒯$. Para dois operadores A (x) e B (y), que dependem em locais de espaço-tempo x e y nós definimos:

$𝒯\{A(x)B(y)\}:=\{\begin{array}{cc}A(x)B(y)& \text{if }{x}_0>y_0,\\ \pm B(y)A(x)& \text{if }{x}_0<y_0.\end{array}$

Aqui $x_0$ and $y_0$ designam as coordenadas-tempo dos pontos x e y.

De forma explícita temos

$𝒯\{A(x)B(y)\}:=\theta (x_0-y_0)A(x)B(y)\pm \theta (y_0-x_0)B(y)A(x),$

Predefinição:Teoria quântica de campos onde $\theta$ representa a função de passo Heaviside e o $\pm$ depende se os operadores em natureza são Bósonicos ou Férmionicos. Se bosônico, então o sinal de $+$ é sempre escolhido, se fermiônico então, o sinal vai depender do número de interligação necessárias para atingir o operador de ordem temporal adequada.

Uma vez que os operadores dependem de sua localização no espaço-tempo (ou seja, não apenas no tempo), esta operação em ordenação de tempo só é coordenada independente se os operadores do tipo espacial Predefinição:Nota de rodapé em pontos separados comutam. Note que a ordenação tempo é em geral escrita com o argumento de tempo aumentando da direita para a esquerda. Em geral, para o produto de n operadores de campo Predefinição:Nowrap o produto do tempo ordenado dos operadores são definidos da seguinte forma:

$𝒯\{A_1(t_1)A_2(t_2)\cdots A_n(t_n)\}=\sum _p\theta (t_{p_1}>t_{p_2}>\cdots >t_{p_n})\epsilon (p)A_{p_1}(t_{p_1})A_{p_2}(t_{p_2})\cdots A_{p_n}(t_{p_n})$

onde a soma é executada em todo p's e sobre o grupo simétrico Predefinição:Nota de rodapé n graus de permutações e

$\epsilon (p)\equiv \{\begin{array}{cc}1& \text{para os operadores bosônicos,}\\ \text{sinal da permutação}& \text{para os operadores fermiônicos.}\end{array}$

Matriz de dispersão

A matriz de dispersão Predefinição:Nota de rodapé(ou matriz de espalhamento) de em teoria quântica de campos é um exemplo de um produto de tempo ordenado. A matriz de dispersão transformando o estado em Predefinição:Nowrap para um estado em Predefinição:Nowrap, pode também ser considerada como uma espécie de "holonomia", análoga à linha de Wilson. Obtemos uma expressão ordenada no tempo devido ao seguinte motivo:

Começamos com esta fórmula simples para o exponencial

$\exp h=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{h}{N})}^N.$

Agora, considere a evolução discretizada do operador

$S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_0)(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots$

onde $1+h_j$ é o operador de evolução ao longo de um intervalo $[j\epsilon ,(j+1)\epsilon ]$ de tempo infinitesimal. Os termos de ordem superiores podem ser negligenciados no limite $\epsilon \to 0$. O operador $h_j$ é definido por

$h_j=\frac{1}{i\hslash }\underset{j\epsilon }{\overset{(j+1)\epsilon }{\int }}dt\int d^{3}xH(\overrightarrow{x},t).$

Note-se que os operadores de evolução ao longo dos intervalos de tempo "passado" é exibido no lado direito do produto. Nós vemos que a fórmula é análoga à identidade acima satisfeita pelo exponencial, e podemos escrever

$S=𝒯\exp \left(\sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{h}_j\right)=𝒯\exp (\int dt{d}^{3}x\frac{H(\overrightarrow{x},t)}{i\hslash }).$

A única sutileza que tivemos que incluir foi o operador $𝒯$ de ordenação de tempo porque os fatores no produto que definem S acima foram tempo-ordenados, também (e os operadores não comutam, em geral) e o operador $𝒯$ garante que este ordenação será preservada.