Desigualdade de Jensen

A desigualdade de Jensen generaliza a afirmação de que uma linha secante de uma função convexa está acima de seu gráfico

Ficheiro:Convex 01.ogv

Em matemática, a desigualdade de Jensen, em homenagem ao matemático dinamarquês Johan Jensen, relaciona o valor de uma função convexa de uma integral com a integral da função convexa. Ela foi provada por Jensen em 1906, com base em uma demonstração anterior da mesma desigualdade para funções duplamente diferenciáveis ​​por Otto Hölder em 1889. Dada sua generalidade, a desigualdade aparece em muitas formas, dependendo do contexto, algumas das quais são apresentadas abaixo. Em sua forma mais simples, a desigualdade afirma que a transformação convexa de uma média é menor ou igual à média aplicada após a transformação convexa; é um corolário simples que o oposto é verdadeiro para transformações côncavas.

A desigualdade de Jensen generaliza a afirmação de que a linha secante de uma função convexa está acima do gráfico da função, que é a desigualdade de Jensen para dois pontos: a linha secante consiste em médias ponderadas da função convexa (for t ∈ [0,1]),

$tf(x_1)+(1-t)f(x_2),$

enquanto o gráfico da função é a função convexa das médias ponderadas,

$f(t{x}_1+(1-t)x_2).$

Assim, a desigualdade de Jensen é

$f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2).$

No contexto da teoria da probabilidade, geralmente é declarado da seguinte forma: se X é uma variável aleatória e Predefinição:Mvar é uma função convexa, então

Falhou a verificação gramatical (Erro de conversão. O servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") devolveu: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}

A diferença entre os dois lados da desigualdade, $\mathrm{E}[\phi (X)]-\phi (\mathrm{E}[X])$, é chamado de intervalo de Jensen.

Bibliografia

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• Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
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• Sam Savage (2012) The Flaw of Averages: Why We Underestimate Risk in the Face of Uncertainty (1st ed.) Wiley. ISBN 978-0471381976

Ligações externas

• Jensen's Operator Inequalityof Hansen and Pedersen.
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