Série binomial

Em matemática, série binomial é uma série de potências do tipo:

$(1+x{)}^k=1+kx+\frac{k(k-1)}{2!}{x}^2+...+\frac{k(k-1)...(k-n+1)}{n!}{x}^n+...$

se $|x|<1$ e para todo número real $k$.

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Exemplo: Achar uma representação de $(1+x{)}^{\frac{1}{3}}$, em séries de potências.

Solução: Para $k=\frac{1}{3}$, obtemos:

$(1+x{)}^{\frac{1}{3}}=1+\frac{1}{3}x+\frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2!}{x}^2+...+\frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)...(\frac{1}{3}-n+1)}{n!}{x}^n+...$

que pode ser escrito como:

$(1+x{)}^{\frac{1}{3}}=1+\frac{1}{3}x+\frac{2}{3^2.2!}{x}^2+...+(-1{)}^{n-1}\frac{1.2...(3n-4)}{3^n.n!}{x}^n$+...